Integrali con Residui e Formule Integrali di Cauchy
Rieccomi di nuovo qui a chiedere aiuto a voi:
Ho da risolcere questo integrale complesso:
$ oint_(C) (1/(z+5))dz $
dove C è una circonferenza di raggio R generico.
Ora, risolvendo l'integrale con il calcolo dei residui ottengo per R minore di 5 (visto che f ha un polo in -5) l'integrale è nullo, se R è maggiore di 5 il residuo di f(z) valutato in z=-5 mi risulta pari ad 1, quindi l'integrale mediante il metodo dei residui è pari a $ 2 pi j $
Ora l'esercizio mi chede di applicare la formula integrale di cauchy.
Essendo questa:
$f(z_0)=1/(2\pii)\int_\C f(z)/(z-z_0)dz$
ora, mi viene da pensare che l'integranda sia gia nella forma desiderata ponendo f(z) pari ad 1...arrivato a questo punto non so più come procedere, qualche dritta?è corretto il primo risultato derivante dalla formula integrale con i residui?
Ho da risolcere questo integrale complesso:
$ oint_(C) (1/(z+5))dz $
dove C è una circonferenza di raggio R generico.
Ora, risolvendo l'integrale con il calcolo dei residui ottengo per R minore di 5 (visto che f ha un polo in -5) l'integrale è nullo, se R è maggiore di 5 il residuo di f(z) valutato in z=-5 mi risulta pari ad 1, quindi l'integrale mediante il metodo dei residui è pari a $ 2 pi j $
Ora l'esercizio mi chede di applicare la formula integrale di cauchy.
Essendo questa:
$f(z_0)=1/(2\pii)\int_\C f(z)/(z-z_0)dz$
ora, mi viene da pensare che l'integranda sia gia nella forma desiderata ponendo f(z) pari ad 1...arrivato a questo punto non so più come procedere, qualche dritta?è corretto il primo risultato derivante dalla formula integrale con i residui?
Risposte
forse ho trovato...rifacendomi un po a degli esempi trovati sul forum...
https://www.matematicamente.it/forum/for ... e%20cauchy
in un commetno di dissonance, viene descritta un po la procedura per risolvere:
"...Sostanzialmente devi calcolare la derivata ventitreesima di exp(ζ+1), valutarla per ζ=z=2, e dividere per (23)!2πi...."
non avendo esponenti al denominatore maggiori di 1, la f(z0) calcolata è quella valutata in z0 senza dover derivare e cavoli vari...quindi in soldoni, calcolo la derivata "zeresima" di f(z) che sarebbe f(z) la valuto in z=-5 e quindi f(-5)=1 e divido per 1/2πi quindi riottengo 2πi...
avendo proceduto come indicato enll'altr post i risultati sia con metodo dei residui che con cauchy sono equivalenti...
è corretto?
https://www.matematicamente.it/forum/for ... e%20cauchy
in un commetno di dissonance, viene descritta un po la procedura per risolvere:
"...Sostanzialmente devi calcolare la derivata ventitreesima di exp(ζ+1), valutarla per ζ=z=2, e dividere per (23)!2πi...."
non avendo esponenti al denominatore maggiori di 1, la f(z0) calcolata è quella valutata in z0 senza dover derivare e cavoli vari...quindi in soldoni, calcolo la derivata "zeresima" di f(z) che sarebbe f(z) la valuto in z=-5 e quindi f(-5)=1 e divido per 1/2πi quindi riottengo 2πi...
avendo proceduto come indicato enll'altr post i risultati sia con metodo dei residui che con cauchy sono equivalenti...
è corretto?
Ho un'altra domanda da farvi, sperando che qualche anima pia sappia e voglia rispondermi,
non ho trovato alcun riferimento sulla letteratura a mia disposizione pertanto chiedo a voi più esperti...
In merito al precedente integrale, variando R e ponendo lo pari a 5, il polo di f(z) mi cade ESATTAMENTE sul bordo della curva di delimitazione del dominio...in questo caso particolare, come devo comportarmi?che teorema devo applicare per calcolarmi il valore dell'integrale di f(z) sul bordo?
Grazie anticipatamente
non ho trovato alcun riferimento sulla letteratura a mia disposizione pertanto chiedo a voi più esperti...
In merito al precedente integrale, variando R e ponendo lo pari a 5, il polo di f(z) mi cade ESATTAMENTE sul bordo della curva di delimitazione del dominio...in questo caso particolare, come devo comportarmi?che teorema devo applicare per calcolarmi il valore dell'integrale di f(z) sul bordo?
Grazie anticipatamente
Scusa, intervengo proprio al volo, purtroppo in questi giorni sono davvero molto impegnato. Ti avviso che se il polo cade sul cammino di integrazione, ci sono problemi sull'integrale che non ha nessun obbligo di essere convergente. Infatti in analisi complessa, che io sappia, di solito integrali così non si considerano (ripeto: che io sappia).
Ciao, grazie per la risposta, ho studiato ambo i casi in cui il polo è dentro e fuori il dominio, ma devo citare cosa avviene (teoricamente) se il polo si trova esattamente sulla curva di delimitazione del dominio...non riesco proprio a trovare nulla in merito, nemmeno negli altri post 
In genere non si può dire nulla: tanto può accadere che l'integrale esista (come integrale improprio di Riemann, o come integrale a valore principale), tanto che non esista.
L'unico criterio da applicare è scrivere esplicitamente l'integrale come integrale di una variabile reale e vedere cosa esso fa.
P.S.: Molte volte, quando capitano situazioni del genere, si dice che il residuo relativo alla singolarità sulla curva vale "per metà" (insomma al posto di considerare [tex]$\text{Res} (f;z_0)$[/tex] consideri [tex]$\tfrac{1}{2}\ \text{Res} (f;z_0)$[/tex] nel teorema dei residui)... Però non mi sono mai soffermato seriamente a riflettere su tale questione.
L'unico criterio da applicare è scrivere esplicitamente l'integrale come integrale di una variabile reale e vedere cosa esso fa.
P.S.: Molte volte, quando capitano situazioni del genere, si dice che il residuo relativo alla singolarità sulla curva vale "per metà" (insomma al posto di considerare [tex]$\text{Res} (f;z_0)$[/tex] consideri [tex]$\tfrac{1}{2}\ \text{Res} (f;z_0)$[/tex] nel teorema dei residui)... Però non mi sono mai soffermato seriamente a riflettere su tale questione.
Grazie gugo82, andando a spilciare per bene sul Codegone ho trovato proprio che qualor un polo di 1 ordine sia situato sul cammino di integrazione il suo integrale, secondo il teo dei residui vale proprio $ 2pij*frac{1}{2}text{Res} (f;z_0) $
L'esercizio ora mi chiede di commentare tale risultaot anche mediante le formule integrali di cauchy.
A tal proposito nel caso di polo esterno l'integrale di cauchy è 0, nel caso di polo interno o sul cammino di integrazione l'integrale di cauchy assume la stessa forma...o quantomeno da come viene enunciato sul testo lo interpreto in questo modo...quindi teoricamente, sempre per come l'ho interpretato io, i due teoremi differiscono solo nel caso in cui il polo è situato sul bordo del dominio differendo appunto di un termine $frac{1}{2}text{Res} (f;z_0)$ dico bene o per entrambe le formule il risultato deve essere equivalente? nel caso affermativo come procedo per dimostrare l'uguaglianza dei risultati anche nel caso di polo sul cammino di integrazione (disuguaglianza di cauchy?)...scusatemi per le numerose domande
L'esercizio ora mi chiede di commentare tale risultaot anche mediante le formule integrali di cauchy.
A tal proposito nel caso di polo esterno l'integrale di cauchy è 0, nel caso di polo interno o sul cammino di integrazione l'integrale di cauchy assume la stessa forma...o quantomeno da come viene enunciato sul testo lo interpreto in questo modo...quindi teoricamente, sempre per come l'ho interpretato io, i due teoremi differiscono solo nel caso in cui il polo è situato sul bordo del dominio differendo appunto di un termine $frac{1}{2}text{Res} (f;z_0)$ dico bene o per entrambe le formule il risultato deve essere equivalente? nel caso affermativo come procedo per dimostrare l'uguaglianza dei risultati anche nel caso di polo sul cammino di integrazione (disuguaglianza di cauchy?)...scusatemi per le numerose domande
ho un altro quesito, oltre a questo precedente...
ho questo esercizio:
Determinare per ogni $ s in RR $, il valore della funzione integrale:
$ f(s)=int_(-oo )^(+oo ) e^{jx(s^3-2s+6)}/(x^2+1)dx $
per semplicità pongo $ s^3-2s+6=h $
ho risolto l'integrale mediante Teorema dei Residui nel seguente modo:
la funzione integranda, ha un polo di ordine 2 in $x=\pm j $ pertanto $f(s)=2pij[Res(+j)+Res(-j)]$
quindi calcolando i due residui ottengo:
$Res(+j)= e^{jxh}/(2x)=e^{-h}/(2j) $ e $Res(-j)= e^{jxh}/(2x)=e^{h}/(-2j) $
sostituendo al risultato ottengo:
$f(s)=2pij[e^{h}/(-2j)+e^{-h}/(2j)]=2pij[-(e^{h}-e^{-h})/(2j)]=-2pijsen(h)=-2pijsen(s^3-2s+6)$
è risolto in maniera corretta?
Grazie
ho questo esercizio:
Determinare per ogni $ s in RR $, il valore della funzione integrale:
$ f(s)=int_(-oo )^(+oo ) e^{jx(s^3-2s+6)}/(x^2+1)dx $
per semplicità pongo $ s^3-2s+6=h $
ho risolto l'integrale mediante Teorema dei Residui nel seguente modo:
la funzione integranda, ha un polo di ordine 2 in $x=\pm j $ pertanto $f(s)=2pij[Res(+j)+Res(-j)]$
quindi calcolando i due residui ottengo:
$Res(+j)= e^{jxh}/(2x)=e^{-h}/(2j) $ e $Res(-j)= e^{jxh}/(2x)=e^{h}/(-2j) $
sostituendo al risultato ottengo:
$f(s)=2pij[e^{h}/(-2j)+e^{-h}/(2j)]=2pij[-(e^{h}-e^{-h})/(2j)]=-2pijsen(h)=-2pijsen(s^3-2s+6)$
è risolto in maniera corretta?
Grazie
non penso perchè non stai considerando l'integrale su un circuito ma sulla retta reale e quindi non puoi applicare il teorema dei residui direttamente, qui penso debba utilizzare il lemma di jordan prima e poi il teorema dei residui.
cavolo è vero...ho corretto, ed ho ottenuto questo:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(ixh)/(x^2+1) dx={ ( +2pijRes(+j) per h>0),( -2pijRes(-j) per h<0):} $
calcolo i residui:
$ Res(+j)=e^(ixh)/(x+j)=e^(-h)/2j $ e $ Res(-j)=e^(ixh)/(x-j)=e^(h)/-2j $
quindi:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(ixh)/(x^2+1) dx={ ( +2pijRes(+j) per h>0),( -2pijRes(-j) per h<0):}={ ( pie^(-h) per h>0),( pie^h per h<0):}=pie^(|h|)=pie^(|s^3-2s+6|)=f(s) $
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(ixh)/(x^2+1) dx={ ( +2pijRes(+j) per h>0),( -2pijRes(-j) per h<0):} $
calcolo i residui:
$ Res(+j)=e^(ixh)/(x+j)=e^(-h)/2j $ e $ Res(-j)=e^(ixh)/(x-j)=e^(h)/-2j $
quindi:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(ixh)/(x^2+1) dx={ ( +2pijRes(+j) per h>0),( -2pijRes(-j) per h<0):}={ ( pie^(-h) per h>0),( pie^h per h<0):}=pie^(|h|)=pie^(|s^3-2s+6|)=f(s) $
scusami ma non ho capito proprio cosa hai fatto..
c
omunque quello che intendevo è che tu non puoi applicare direttamente il teorema dei residui ad integrali sulla retta reale ma devi prima considerare per esempio un dominio del tipo
$\Gamma := \gamma_R \cup [-R,R]$ dpve di solito con $\gamma_R$ si prende la semicirconferenza centrata in zero e di raggio R.
Quindi a questo punto $\Gamma$ è un cammino chiuso e puoi applicare il teorema dei residui considerando R abbastanza grande da racchiudere almeno un polo sull integrale $\int_{\Gamma}f(z)dz$
dopodiché con il lemma di Jordan cerchi di dimostrare che l'integrale della funzione su $\gamma_R$ è nullo e quindi l'integrale di f su $\Gamma$ è uguale a quello sulla retta reale.
non so se sono stato chiaro...
edit: ho tolto il link che avevo messo perchè non mi sembrava molto chiaro
c
omunque quello che intendevo è che tu non puoi applicare direttamente il teorema dei residui ad integrali sulla retta reale ma devi prima considerare per esempio un dominio del tipo
$\Gamma := \gamma_R \cup [-R,R]$ dpve di solito con $\gamma_R$ si prende la semicirconferenza centrata in zero e di raggio R.
Quindi a questo punto $\Gamma$ è un cammino chiuso e puoi applicare il teorema dei residui considerando R abbastanza grande da racchiudere almeno un polo sull integrale $\int_{\Gamma}f(z)dz$
dopodiché con il lemma di Jordan cerchi di dimostrare che l'integrale della funzione su $\gamma_R$ è nullo e quindi l'integrale di f su $\Gamma$ è uguale a quello sulla retta reale.
non so se sono stato chiaro...
edit: ho tolto il link che avevo messo perchè non mi sembrava molto chiaro
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