Integrali con residui
Ciao ragazzi vorrei chiedervi un paio di conferme su alcuni concetti che credo ( 
) di aver capito e vorrei porre alcune domande su altre questioni invece poco chiare.
Se devo risolvere un integrale con il teorema dei residui e mi viene dato un cammino di integrazione posso procedere calcolando i residui nelle singolarità isolate interne al cammino sommandole tra di loro e moltiplicandole per 2*pi*j. Giusto?
Nel caso invece di integrali tra 0 e 2*pi posso effettuare la sostituzione z=e^(jx) così che il cammino di integrazione diventi una circonferenza unitaria centrata nell'origine e procedere come sopra. Giusto?
Se ho un integrale i cui estremi vanno all'infinito come procedo? Se ho capito bene posso dividere l'integrale in due. Il primo va da -R a +R mentre il secondo lo si fa su una curva data dall'intersezione di una circonferenza centrata nell'origine con raggio R col settore angolare che va da 0 a pi. Il tutto lo si considera per R che tende ad infinito. A questo punto applico il teorema dei residui a questa semicirconferenza chiusa sull'asse reale e dico che l'integrale che ho scomposto è pari alla somma dei residui interni a questa curva moltiplicata per 2*pi*j. A questo punto con il lemma di Jordan dico che il secondo integrale è nullo. Mi resta quindi il primo integrale che con il limite avanti è proprio l'integrale che voglio trovare! Questo sarà dunque pari, come detto prima, a 2*pi*j*(sommatoria residui). I residui che devo considerare sono quindi quelli che ad esempio appartengono al semipiano Im>0. Se invece considerassi Im<0 dovrei cambiare il verso di orientazione della curva e quindi il segno del risultato?
In qualsiasi caso mi trovi se ho una singolarità proprio sulla curva come mi comporto? La considero?
Se l'integrale che ho va da 0 ad infinito come mi comporto?
Altra situazione che può presentarsi è quella in cui al numeratore c'è una funzione trigonometrica che ha uno zero nello stesso punto in cui c'è uno zero del denominatore. In questo caso, se non riconosco alcun limite notevole per il calcolo dei residui posso procedere considerando solo la parte immaginaria o reale di e^(j*argomento funzione trigonometrica) nel caso in cui sia un seno o rispettivamente un coseno. Questo ragionamento può essere fatto laddove l'integrando sia reale. Giusto?
Potreste elencarmi altre situazioni che si possono incontrare con questa tipologia di esercizi (nel caso in cui mi fosse sfuggito qualcosa)?
Grazie in anticipo.
) di aver capito e vorrei porre alcune domande su altre questioni invece poco chiare.Se devo risolvere un integrale con il teorema dei residui e mi viene dato un cammino di integrazione posso procedere calcolando i residui nelle singolarità isolate interne al cammino sommandole tra di loro e moltiplicandole per 2*pi*j. Giusto?
Nel caso invece di integrali tra 0 e 2*pi posso effettuare la sostituzione z=e^(jx) così che il cammino di integrazione diventi una circonferenza unitaria centrata nell'origine e procedere come sopra. Giusto?
Se ho un integrale i cui estremi vanno all'infinito come procedo? Se ho capito bene posso dividere l'integrale in due. Il primo va da -R a +R mentre il secondo lo si fa su una curva data dall'intersezione di una circonferenza centrata nell'origine con raggio R col settore angolare che va da 0 a pi. Il tutto lo si considera per R che tende ad infinito. A questo punto applico il teorema dei residui a questa semicirconferenza chiusa sull'asse reale e dico che l'integrale che ho scomposto è pari alla somma dei residui interni a questa curva moltiplicata per 2*pi*j. A questo punto con il lemma di Jordan dico che il secondo integrale è nullo. Mi resta quindi il primo integrale che con il limite avanti è proprio l'integrale che voglio trovare! Questo sarà dunque pari, come detto prima, a 2*pi*j*(sommatoria residui). I residui che devo considerare sono quindi quelli che ad esempio appartengono al semipiano Im>0. Se invece considerassi Im<0 dovrei cambiare il verso di orientazione della curva e quindi il segno del risultato?
In qualsiasi caso mi trovi se ho una singolarità proprio sulla curva come mi comporto? La considero?
Se l'integrale che ho va da 0 ad infinito come mi comporto?
Altra situazione che può presentarsi è quella in cui al numeratore c'è una funzione trigonometrica che ha uno zero nello stesso punto in cui c'è uno zero del denominatore. In questo caso, se non riconosco alcun limite notevole per il calcolo dei residui posso procedere considerando solo la parte immaginaria o reale di e^(j*argomento funzione trigonometrica) nel caso in cui sia un seno o rispettivamente un coseno. Questo ragionamento può essere fatto laddove l'integrando sia reale. Giusto?
Potreste elencarmi altre situazioni che si possono incontrare con questa tipologia di esercizi (nel caso in cui mi fosse sfuggito qualcosa)?
Grazie in anticipo.
Risposte
Proviamo con un esempio sul terzo punto
$ int_(-oo )^(+oo ) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4))dx $
$ z=0 $ è una singolarità eliminabile mentre $ z=-2j $ è un polo doppio appartenente al semipiano $ Im<0 $
$ R[-2j] = -je^(-2)/2 $
Dunque l'integrale è $ 2 pi j R[-2j] = pi e^-2 $ cambiato di segno perchè Im<0 ? Oppure è nullo perchè in Im>0 la funzione è analitica?
$ int_(-oo )^(+oo ) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4))dx $
$ z=0 $ è una singolarità eliminabile mentre $ z=-2j $ è un polo doppio appartenente al semipiano $ Im<0 $
$ R[-2j] = -je^(-2)/2 $
Dunque l'integrale è $ 2 pi j R[-2j] = pi e^-2 $ cambiato di segno perchè Im<0 ? Oppure è nullo perchè in Im>0 la funzione è analitica?
"lilfo":
Proviamo con un esempio sul terzo punto
$ int_(-oo )^(+oo ) (x+sinx)/(x(x^2+4jx-4))dx $
Già fatto, uguale uguale...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo