Integrali con residui
Buon pomeriggio ragazzi!
Avrei bisogno di due chiarimenti, uno riguardante un esercizio, l'altro riguardante una regola più generale.
1)Questo è l'esercizio riguardo gli integrali risolvibili con residui.
L'integrale è questo:
$\int_{2\pi}^{2\pi} (4x^(3)arctgx)/(x^(8)+2x^(4)+1) dx$
(L'INTEGRALE è DEFINITO TRA MENO INFINITO E INFINITO, MA NON RIUSCIVO A SCRIVERLO CON I CODICI)
In ogni caso ho trasformato l'integrale ponendo al posto della x la z e calcolando i poli e relativi residui.
Facendo dunque i calcoli ho trovato 4 poli che sono:
z1=$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2
z2=-$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2
z3=-$sqrt(2)$/2-i$sqrt(2)$/2
z4=$sqrt(2)$/2-i$sqrt(2)$/2
Ora vado a calcolare i limiti per z che tende a z1 e z che tende a z2.
Tuttavia ovviamente ho problemi con l'arcotangente, o meglio mi ritroverei al numeratore, arctg($sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2) per il primo polo e arctg(-$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2) per il secondo polo.
Quindi suppongo che ci sia qualche sostituzione da fare all'inizio dell'esercizio.
Qualcuno mi saprebbe aiutare???
2) Normalmente, quando si riporta la soluzione di un integrale con residui, si applicano i teoremi di Jordan, del grande e del piccolo cerchio, e dunque moltiplico 2ipi per la somma dei miei residui.
Tuttavia a volte i residui vengono moltiplicati solo per 2pi.
Secondo quale regola e quale criterio viene fatta questa differenza?
Grazie in anticipo a tutti
Avrei bisogno di due chiarimenti, uno riguardante un esercizio, l'altro riguardante una regola più generale.
1)Questo è l'esercizio riguardo gli integrali risolvibili con residui.
L'integrale è questo:
$\int_{2\pi}^{2\pi} (4x^(3)arctgx)/(x^(8)+2x^(4)+1) dx$
(L'INTEGRALE è DEFINITO TRA MENO INFINITO E INFINITO, MA NON RIUSCIVO A SCRIVERLO CON I CODICI)
In ogni caso ho trasformato l'integrale ponendo al posto della x la z e calcolando i poli e relativi residui.
Facendo dunque i calcoli ho trovato 4 poli che sono:
z1=$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2
z2=-$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2
z3=-$sqrt(2)$/2-i$sqrt(2)$/2
z4=$sqrt(2)$/2-i$sqrt(2)$/2
Ora vado a calcolare i limiti per z che tende a z1 e z che tende a z2.
Tuttavia ovviamente ho problemi con l'arcotangente, o meglio mi ritroverei al numeratore, arctg($sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2) per il primo polo e arctg(-$sqrt(2)$/2+i$sqrt(2)$/2) per il secondo polo.
Quindi suppongo che ci sia qualche sostituzione da fare all'inizio dell'esercizio.
Qualcuno mi saprebbe aiutare???
2) Normalmente, quando si riporta la soluzione di un integrale con residui, si applicano i teoremi di Jordan, del grande e del piccolo cerchio, e dunque moltiplico 2ipi per la somma dei miei residui.
Tuttavia a volte i residui vengono moltiplicati solo per 2pi.
Secondo quale regola e quale criterio viene fatta questa differenza?
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Come calcoli i residui ?
Facendo i due limiti, il primo che tende al primo polo e il secondo che tende al secondo polo. Scelgo questi due perchè hanno la parte immaginaria positiva
I limiti delle derivate prime?
Ricorda che $Res(z_0)=\lim_{z \rightarrow z_0}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-z_0)^nf(z))|_{z=z_0}$ dove $n$ è l'ordine del polo
Ricorda che $Res(z_0)=\lim_{z \rightarrow z_0}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-z_0)^nf(z))|_{z=z_0}$ dove $n$ è l'ordine del polo
Sisi usando questa formula ho trovato quei poli
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