Integrali con parametro

[ing.cane]

ho i seguenti esercizi:
1) individuare i valori del parametro a per cui la funzione risulta sommabile nell'intervallo [-180°, 180°] :
$f= (sen(2x^(1/3)))/|x|^a$

2)individuare i valori del parametro a per cui la funzione risulta sommabile nell'intervallo [-1, 1]
$f=|ln(x+1)|^a$

e non mi vengono proprio idee su come risolverli...

[ing.cane]

e poi ho un dubbio:
ho un equ. differenziale di eulero, sostituisco y=x^b...
alle fine ricavo che b=-1

in teoria però si hanno soluz della forma y=Ax^b + Cx^b siccome ho una sola b devo aggiungere una x, tipo come quando uso il metodo della somiglianza? oppure che si fa?

[DMNQ]

"ing.cane":ho i seguenti esercizi:

2)individuare i valori del parametro a per cui la funzione risulta sommabile nell'intervallo [-1, 1]
$f=|ln(x+1)|^a$

e non mi vengono proprio idee su come risolverli...

Ciao .
Prendo $ -1< b < 0 $

a/ Studio di f sull'intervallo $ [-1 ; b ] $
Con $ 0 < \lambda < 1 $ , ho $ f(x) = o( \frac{1}{ (x+1)^{\lambda} }) $ quando $ x -> -1 $ e $ x > -1 $
Dunque $ \int_(-1)^b f(x) dx < +infty $ , qualsiasi $ a $ .

b/ Studio di f sull'intervallo $ [ b ; 0 ] $ e sull'intervallo $ [0 ;1] $

Ho $ f(x) $ ~ $ |x|^a $ quando $ x ->0 $ e cosi :
- se $ a > - 1 $ allora $ \int_(b)^0 f(x) dx < +infty $ e $ \int_(0)^1 f(x) dx < +infty $
- Se $ a <= - 1 $ allora $ \int_(b)^0 f(x) dx = +infty $ e $ \int_(0)^1 f(x) dx = +infty $

Conclusione :

Se $ a > - 1 $ allora $ \int_(-1)^1 f(x) dx < +infty $
Se $ a <= - 1 $ allora $ \int_(-1)^1 f(x) dx = +infty $

Questo mi pare giusto ma ... ?

[ing.cane]

grazie per avermi risposto però non ho capito all'inizio come hai risolto,allora:

"DMNQ":

Prendo $ -1< b < 0 $

a/ Studio di f sull'intervallo $ [-1 ; b ] $
Con $ 0 < \lambda < 1 $ , ho $ f(x) = o( \frac{1}{ (x+1)^{\lambda} }) $ quando $ x -> -1 $ e $ x > -1 $
Dunque $ \int_(-1)^b f(x) dx < +infty $ , qualsiasi $ a $ .

se si considera $ 0 < a < 1 $ non si dovrebbe avere $ f(x) = o( 1/(x+1)^(- a)) $ ?

[Quinzio]

"ing.cane":
2)individuare i valori del parametro a per cui la funzione risulta sommabile nell'intervallo [-1, 1]
$f=|ln(x+1)|^a$

Se provi un attimo a sviluppare con Taylor hai che $f(x)=|x^a+o(x^a)|$
Si vede abbastanza bene che se $a<0$ la funzione va all'infinito nello zero. In sostanza devi evitare che accada questo.

[DMNQ]

"ing.cane":grazie per avermi risposto però non ho capito all'inizio come hai risolto,allora:
se si considera $ 0 < a < 1 $ non si dovrebbe avere $ f(x) = o( 1/(x+1)^(- a)) $ ?

- se si considera $ 0 < a < 1 $ allora $ f(x) = o( 1/(x+1)^(- a)) $ quando $ x -> -1 $ e $ x > -1 $ ?
Questo mi pare falso .

- Qualsivoglia $ a $ abbiamo $ f(x) = o( \frac{1}{(x+1)^(\lambda)} )$ quando $ x -> -1 $ e $ x > -1 $
se $ 0 < \lambda < 1 $ per esempio $ \lambda =0,5 $ .

Sappiamo che $ \int_(-1)^b \frac{1}{(x+1)^(\lambda)} dx < +infty $ e dunque $ \int_(-1)^b f(x) dx < +infty $ .
Questo ragionamento mi pare giusto .