Integrali con il metodo dei residui
Salve , dovrei calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui: $int_\gamma(z^2+2z+1)/(z^2+1)$
con $\gamma$ centro origine e raggio $pi/2$.
Ho fatto cosi' :
Gli zeri sono $z_1=j$ e $z_2=-j$ .Considero solo $z_1=j$ che si trova nella semcirconfernza superiore.
Calcolo il residuo nel polo semplice $R_(f(z))(j)=(z^2+2z+1)/(z+j)|_(z=j)=1$. Poi applico la formula per
il calcolo degli integrali con metodo dei residui.
$int_\gamma.......=2pij[1]=2pij$
E' sbagliato e il risultato dice che vale $int..=4pij$ , credo che abbia calcolato il residuo anche sull'altra
singolarità. cio su $z_2=-j$ e viene $int..=2pij[1+1]=4pij$
Ora quello che non mi é chiaro riguarda su quali punti calcolare il residuo. Pensavo bisognasse considerare solo
i punti situati solo nella semicirconferenza superiore , invece a giudicare dal risultato sembra che sia stato
calcolato il residuo anche sull'altro zero $2_2=-j$. Non ho ben capito in base a quale criterio si scelgono.
Un altra cosa che vorrei chiedere riguarda gli integrali imporopri con metodo dei residui. Negli integrali impropri
se ho capito bene, quando la singolarità é sull'asse relale, La formula dice che in questo caso bisogna
moltiplicare il residuo sull'asse reale per $1/2$.
ovvero $int_-infty^(+infty) (P(x))/(Q(x))=2pij(sum_(k=1)^n R_(f(z))(z_k)+1/2sum_(i=1)^m R_(f(z))dz)$
Questa condizione vale solo sugli integrali improprio o anche negli integrali di linea ?
Grazie
Ben
con $\gamma$ centro origine e raggio $pi/2$.
Ho fatto cosi' :
Gli zeri sono $z_1=j$ e $z_2=-j$ .Considero solo $z_1=j$ che si trova nella semcirconfernza superiore.
Calcolo il residuo nel polo semplice $R_(f(z))(j)=(z^2+2z+1)/(z+j)|_(z=j)=1$. Poi applico la formula per
il calcolo degli integrali con metodo dei residui.
$int_\gamma.......=2pij[1]=2pij$
E' sbagliato e il risultato dice che vale $int..=4pij$ , credo che abbia calcolato il residuo anche sull'altra
singolarità. cio su $z_2=-j$ e viene $int..=2pij[1+1]=4pij$
Ora quello che non mi é chiaro riguarda su quali punti calcolare il residuo. Pensavo bisognasse considerare solo
i punti situati solo nella semicirconferenza superiore , invece a giudicare dal risultato sembra che sia stato
calcolato il residuo anche sull'altro zero $2_2=-j$. Non ho ben capito in base a quale criterio si scelgono.
Un altra cosa che vorrei chiedere riguarda gli integrali imporopri con metodo dei residui. Negli integrali impropri
se ho capito bene, quando la singolarità é sull'asse relale, La formula dice che in questo caso bisogna
moltiplicare il residuo sull'asse reale per $1/2$.
ovvero $int_-infty^(+infty) (P(x))/(Q(x))=2pij(sum_(k=1)^n R_(f(z))(z_k)+1/2sum_(i=1)^m R_(f(z))dz)$
Questa condizione vale solo sugli integrali improprio o anche negli integrali di linea ?
Grazie
Ben
Risposte
La circonferenza $gamma$ include anche la singolarità in $-j$, non vedo perchè
considerarne solo la metà superiore. I residui vanno calcolati su tutte le singolarità
all'interno della curva, ciascuna con il suo winding number.
considerarne solo la metà superiore. I residui vanno calcolati su tutte le singolarità
all'interno della curva, ciascuna con il suo winding number.
Allora sto facendo un po di confusione... 
Dunque l'esempio precedente riguarda l'integrale di linea datto sulla circonferenza e giustamente
include entrambi i punti a meno che non sia specificato dal testo solo una "fetta" della circonferenza ,
in questo caso calcolo il residuo solo sui punti che fanno parte della "fetta".
Allora è negli integrali impropri, che devo considerare solo la semicirconferenza giusto ?
Scartando i residui che si trovano fuori da questa area (per esempio nella semicirconferenza inferiore)
e moltiplicare invece i residui sull'asse reale per $1/2$ ?
?
Dunque l'esempio precedente riguarda l'integrale di linea datto sulla circonferenza e giustamente
include entrambi i punti a meno che non sia specificato dal testo solo una "fetta" della circonferenza ,
in questo caso calcolo il residuo solo sui punti che fanno parte della "fetta".
Allora è negli integrali impropri, che devo considerare solo la semicirconferenza giusto ?
Scartando i residui che si trovano fuori da questa area (per esempio nella semicirconferenza inferiore)
e moltiplicare invece i residui sull'asse reale per $1/2$ ?
?
si...
alla fine tu basta che decidi la curva chiusa su cui integrare e poi ci calcoli i residui su tutte le singolarità interne!!!
NOTA: non in tutti gli integrali impropri bisogna integrare lungo una semicirconferenza...il percorso di integrazione dipende dalla particolare funzione da integrare...
invece per la seconda domanda...diciamo che il teorema non dice che bisogna moltiplicare il residuo per $1/2$
ma dice qualcosa di diverso e di piu generale...(almeno la versione che conosco io)
ma nel tuo caso particolare, ovvero se hai una singolarità sull' asse X e hai scelto l'asse X come percorso di integrazione è giusto moltiplicare il residuo per $1/2$....
alla fine tu basta che decidi la curva chiusa su cui integrare e poi ci calcoli i residui su tutte le singolarità interne!!!
NOTA: non in tutti gli integrali impropri bisogna integrare lungo una semicirconferenza...il percorso di integrazione dipende dalla particolare funzione da integrare...
invece per la seconda domanda...diciamo che il teorema non dice che bisogna moltiplicare il residuo per $1/2$
ma dice qualcosa di diverso e di piu generale...(almeno la versione che conosco io)ma nel tuo caso particolare, ovvero se hai una singolarità sull' asse X e hai scelto l'asse X come percorso di integrazione è giusto moltiplicare il residuo per $1/2$....
"Cantaro86":
si...
alla fine tu basta che decidi la curva chiusa su cui integrare e poi ci calcoli i residui su tutte le singolarità interne!!!
NOTA: non in tutti gli integrali impropri bisogna integrare lungo una semicirconferenza...il percorso di integrazione dipende dalla particolare funzione da integrare...
Ok, gli esempio che ho visto sul mio libro prendono sempre come percorso di integrazione una sempicirconferenza.
potresti magari farmi un esempio, cosi' giusto per sapere.
invece per la seconda domanda...diciamo che il teorema non dice che bisogna moltiplicare il residuo per $1/2$
si è vero , diciamo che l'ho "semplificato" un pochino...
ma nel tuo caso particolare, ovvero se hai una singolarità sull' asse X e hai scelto l'asse X come percorso di integrazione è giusto moltiplicare il residuo per $1/2$....
Grazie
Ben
mmm...è abbastanza difficile fare un esempio... poichè il percorso di integrazione dipende essenzialmente dalla "facilità" con cui giungiamo al risultato!!
mi spiego meglio:
se devo integrare una funzione complessa posso scegliere diversi percorsi di integrazione, ma con alcuni otterrò subito il risultato che cercavo mentre altri potrebbero portartmi fuori strada...
la semicirconferenza è sicuramente fra i percorsi piu comuni... ma con alcune funzioni più complicate (per esempio se ci sono funzioni polidrome) a questo percorso si possono preferire altri...
$ f(z) = 1/(sqrt(z) (z+1) log(z-i2pi) $
per esempio quando ho dovuto integrare questa funzione da 0 a $infty$ ho scelto un percorso a forma di circonferenza che escludesse l'asse positivo delle X.
(ma come puoi vedere è una funzione alquanto complicata)
mi spiego meglio:
se devo integrare una funzione complessa posso scegliere diversi percorsi di integrazione, ma con alcuni otterrò subito il risultato che cercavo mentre altri potrebbero portartmi fuori strada...
la semicirconferenza è sicuramente fra i percorsi piu comuni... ma con alcune funzioni più complicate (per esempio se ci sono funzioni polidrome) a questo percorso si possono preferire altri...
$ f(z) = 1/(sqrt(z) (z+1) log(z-i2pi) $
per esempio quando ho dovuto integrare questa funzione da 0 a $infty$ ho scelto un percorso a forma di circonferenza che escludesse l'asse positivo delle X.
(ma come puoi vedere è una funzione alquanto complicata)
azz .. ok ho afferrato il discorso , magari nel weekend provo a vedere
se riesco ad integrarla.
.. ok ho afferrato il discorso , magari nel weekend provo a vedere se riesco ad integrarla.
a bene...
allora il risultato è: $(2-pi/2) i$
allora il risultato è: $(2-pi/2) i$
grazie Cantaro86 :
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