Integrali con i residui
Ciao a tutti devo risolvere un integrale con i residui e mi trovo davanti ad un intoppo
$ int_(-oo )^(+oo ) 1 // (x^2+x+4)^2 $
inizialmente ho calcolato le singolarità che sono $ (-1 pm i sqrt(15) )//2 $
generalmente negli esercizi riconoscevo nelle soluzioni complesse l'argomento, che in genere veniva sempre qualcosa di facile tipo $ pi//3 $ e poi andavo ad aggiungere $ kpi $ per ogni soluzione ottenendo 4 radici distinte.
In questo caso non riesco a scrivere le due soluzioni con esponenziali se non usando l'arcotangente (oppure è un angolo noto??)
Detto questo, se qualcuno ha capito il mio problema, le mie due belle radici posso considerarle doppie e quindi calcolare i residui di poli doppi?
$ int_(-oo )^(+oo ) 1 // (x^2+x+4)^2 $
inizialmente ho calcolato le singolarità che sono $ (-1 pm i sqrt(15) )//2 $
generalmente negli esercizi riconoscevo nelle soluzioni complesse l'argomento, che in genere veniva sempre qualcosa di facile tipo $ pi//3 $ e poi andavo ad aggiungere $ kpi $ per ogni soluzione ottenendo 4 radici distinte.
In questo caso non riesco a scrivere le due soluzioni con esponenziali se non usando l'arcotangente (oppure è un angolo noto??)
Detto questo, se qualcuno ha capito il mio problema, le mie due belle radici posso considerarle doppie e quindi calcolare i residui di poli doppi?
Risposte
Come hai detto, puoi ricavare la forma esponenziale considerando
$|z| = sqrt( a^2 + b^2 )$
$arg z = atan( b/a) $
Ora.. queste due radici sono una nel 2° ed una nel 3° quadrante. Potresti cercare di usare il lemma del cerchio grande considerando una semicirconferenza di raggio $R->oo$.. Ed usare il teorema dei residui: in questo caso
$int_(-oo)^(+oo) f(z)dz + int_(Gamma_R) f(z)dz = 2 pi i Res( f(z), sqrt(61/40)e^ (i atan (2 sqrt(15))) )$
Comunque si.. sono entrambi poli doppi. Dunque devi fare l'accorgimento opportuno per calcolare il residuo!
$|z| = sqrt( a^2 + b^2 )$
$arg z = atan( b/a) $
Ora.. queste due radici sono una nel 2° ed una nel 3° quadrante. Potresti cercare di usare il lemma del cerchio grande considerando una semicirconferenza di raggio $R->oo$.. Ed usare il teorema dei residui: in questo caso
$int_(-oo)^(+oo) f(z)dz + int_(Gamma_R) f(z)dz = 2 pi i Res( f(z), sqrt(61/40)e^ (i atan (2 sqrt(15))) )$
Comunque si.. sono entrambi poli doppi. Dunque devi fare l'accorgimento opportuno per calcolare il residuo!
ok per quanto riguarda poi il calcolo effettivo con il lemma del grande cerchio non ci sono problemi.
La mia titubanza era proprio nel considerare o meno tali radici doppie inquanto non riuscivo a scinderle in due distinte.
Oggi all'esame ho trovato la sorpresa..
La mia titubanza era proprio nel considerare o meno tali radici doppie inquanto non riuscivo a scinderle in due distinte.
Oggi all'esame ho trovato la sorpresa..
effettivamente è un pò insolito, solitamente si mettono angoli noti.. Tuttavia sono convinto che si debba svolgere così. Ti è capitato oggi all'esame questo esercizio?
Sì proprio all'esame...è stato un caso che non avevo preso in considerazione e mi ha fatto perdere parecchio tempo...speriamo bene del resto con il mio prof capitano sempre queste "eccezioni"..
Se per te si faceva così mi sollevi un po' anche se la questione continua a lasciarmi perplessa..
grazie!
Se per te si faceva così mi sollevi un po' anche se la questione continua a lasciarmi perplessa..
grazie!
Volevo solo informarvi che il prof ha detto che andava bene risolto considerandoli poli doppi!! 
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