Integrali con i Residui

[zxcvbnm2]

Salve, qualcuno perpiacere potrebbe aiutarmi a risolvere il seguente integrale, mediante la teoria dei residui?


$\int_0^oo 1/(x^6+x^3+1) dx$


vi prego ne ho assoluto bisogno se qualcuno lo sa fare!!!

Grazie anticipatamente!

[Kroldar]

Senza fare i conti, cerco di spiegarti quello che credo sia il procedimento più breve...


Ricordiamo innanzitutto un risultato molto importante:

Per $n>=2$, risulta

$int_0^(+oo) ccR(x^n) dx = -e^(-jpi/n) * pi/sin(pi/n) * sum_i R[z_i]$

dove $ccR(x^n)$ è una funzione razionale fratta di $x^n$ e i vari $z_i$ sono i residui di $ccR(z^n)$ con argomento compreso tra $0$ e $(2pi)/n$



Notiamo ora che la nostra funzione integranda

$1/(x^6+x^3+1)$

può essere vista come funzione di $x^3$, in quanto

$1/(x^6+x^3+1) =1/((x^3)^2+x^3+1)$

e dunque si può applicare il risultato poc'anzi enunciato ponendo $n=3$.

Si ha quindi

$int_0^(+oo) 1/(x^6+x^3+1) dx = -e^(-jpi/3) * pi/sin(pi/3) * sum_i R[z_i]$

Basta dunque trovare i residui della funzione integranda nei poli con argomento compreso tra $0$ e $(2pi)/3$, sommarli e moltiplicare il tutto per $e^(-jpi/3) * pi/sin(pi/3)$