Integrali con funzioni trigonometriche
Salve a tutti! Ho trovato degli esercizi sugli integrali con passaggi e soluzioni, ma in alcuni non capisco alcuni passaggi. 1)In questo integrale $\intsin^2x/2dx$, la soluzione data è questa: $cosx = cos2(x/2) = cos^2x/2 - sin^2x/2 = 1 - 2sin^2x/2 => sin^2x/2 = (1-cosx)/2 = 1/2 - cosx/2$, giunti a questo punto integro $1/2$ e $-cosx/2$ e questo sono capace a farlo. Mi spiegate, gentilmente, come da $sin^2x/2$ si arriva a $1/2 - cosx/2$.
2) In un altro integrale ho $\inte^(sin^2x)sin2xdx$ che diventa $2$ $\inte^(sin^2x)sinxcosdx$, mi spieghereste anche questa trasformazione?
3) Un ultimo integrale che, per me, è ancora più strano, è $\intdx/cos(x/a)$, dove la soluzione mi pone $x/a = t => 1/adx = dt => dx = adt$ e si ha così l integrale in $t$: $\int_dt/cost$, poi quello che non capisco è questo, la soluzione pone $h = tg(t/2)$ (da dove esce questa tangente?) $=> dt = 2dh/(1+h^2)$ e $cos t = (1-h^2)/(1+h^2)$ e poi la risolve con il metodo delle frazioni parziali.
Se qualcosa non va nella formattazione ditemelo che non sono molto pratico! Grazie in anticipo per le risposte!
2) In un altro integrale ho $\inte^(sin^2x)sin2xdx$ che diventa $2$ $\inte^(sin^2x)sinxcosdx$, mi spieghereste anche questa trasformazione?
3) Un ultimo integrale che, per me, è ancora più strano, è $\intdx/cos(x/a)$, dove la soluzione mi pone $x/a = t => 1/adx = dt => dx = adt$ e si ha così l integrale in $t$: $\int_dt/cost$, poi quello che non capisco è questo, la soluzione pone $h = tg(t/2)$ (da dove esce questa tangente?) $=> dt = 2dh/(1+h^2)$ e $cos t = (1-h^2)/(1+h^2)$ e poi la risolve con il metodo delle frazioni parziali.
Se qualcosa non va nella formattazione ditemelo che non sono molto pratico! Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
partiamo dal primo punto....è meglio fare una cosa alla volta
Il passaggio $sin^2(x/2)=(1-cosx)/2$ è dato dalle formule di bisezione del seno.
Il passaggio $sin^2(x/2)=(1-cosx)/2$ è dato dalle formule di bisezione del seno.
Per il 3) secondo me c'è una soluzione simpatica che conviene mettere a memoria:
$\int (dx)/(\cos x)$
$\int (\cos x)/(\cos^2 x)dx$
$\int (\cos x)/(1- \sin^2 x)dx$
$\int 1/2(\cos x/(1+\sin x)+\cos x/(1-\sin x))dx$
Quindi si conclude coi logaritmi.
$\int (dx)/(\cos x)$
$\int (\cos x)/(\cos^2 x)dx$
$\int (\cos x)/(1- \sin^2 x)dx$
$\int 1/2(\cos x/(1+\sin x)+\cos x/(1-\sin x))dx$
Quindi si conclude coi logaritmi.
Lorin:
partiamo dal primo punto....è meglio fare una cosa alla volta
Il passaggio $sin^2(x/2)=(1-cosx)/2$ è dato dalle formule di bisezione del seno.
Grazie Lorin per avermi risposto! Purtroppo non ho fatto niente di trigonometria alle superirori, ho visto il mio primo seno e coseno quest'anno che ho cominciato l'università.
Se mi aiutate anche con gli altri punti mi fate un grosso piacere!!
"DarkSkull":
[...]
2) In un altro integrale ho $\inte^(sin^2x)sin2xdx$ che diventa $2$ $\inte^(sin^2x)sinxcosdx$, mi spieghereste anche questa trasformazione?
[...]
Qui è stata semplicemente utilizzata la formula di duplicazione del seno. Infatti \(\sin2x=2 \sin x \cos x \).
"DarkSkull":
[quote="Lorin"]partiamo dal primo punto....è meglio fare una cosa alla volta
Il passaggio $sin^2(x/2)=(1-cosx)/2$ è dato dalle formule di bisezione del seno.
Grazie Lorin per avermi risposto! Purtroppo non ho fatto niente di trigonometria alle superirori, ho visto il mio primo seno e coseno quest'anno che ho cominciato l'università.
Se mi aiutate anche con gli altri punti mi fate un grosso piacere!!
[/quote]Come non hai fatto nulla di trigonometria?!
In tutti i modi direi di fermarti un attimo allora...se hai delle lacune in trigonometria, anzi se come dici tu non l'hai mai fatta, ti conviene studiarla (e guarda che non ci vuole tantissimo tempo), perchè una lacuna è sempre una lacuna....te la porti dietro sempre...ed è inutile saper fare un integrale se non conosci la duplicazione del seno (ad esempio).
Purtroppo vengo da un tecnico commerciale dove abbiamo fatto poche cose e male, mi ricordo il mio prof disse l'anno scorso ho fatto la trigonometria quindi quest'anno farò i logaritmi per cambiare... Ma lasciamo stare, queste formule di duplicazione e bisezione sono formule per scrivere il seno e il coseno in altro modo vero? E quindi posso usarle per semplificarmi gli integrali giusto?
Si...immaginavo! Te lo dico con molta sincerità e per incoraggiarti...prendi un libro di trigonometria (anche on line ci sono un sacco di dispense) e studiala con calma...vedrai tutto più chiaramente. Ci vuole davvero poco!
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