Integrali con formula di Hermite

[William990]

Ciao a tutti a breve ho l'esame di Analisi Matematica I e purtroppo la nuova prof esige lo svolgimento degli integrali con la formula di Hermite...io ho provato e riprov ato cercato in questo forum e ovunque su internet e sui libri ma non riesco proprio a capire l'applicazione di questa formula...infatti chiedo scusa se non propongo uno svolgimento degli esercizi ma non capisco proprio su come ragionare per poterla applicare e spero in una buona anima che mi dia una mano

$ int_()^() x^2/(1+x^4) dx $

$ int_()^() 1/(1+x^4) dx $

$ int_()^() x^2/(1+x^2)^3 dx $

$ int_()^() (1+x^3)/((1+x^2)x^2) dx $

$ int_()^() x^2/(1-x^2)^3 dx $

$ int_()^() 1/((1+x^3)x^2) dx $

questi sono degli esercizi tipo...chiedo ancora scusa se non ho fatto uno sviluppo ma proprio non so come procedere...Grazie a tutti

[William990]

si la formula la conosco scusate se ho dimenticato di scriverla...ma è l'applicazione che mi manca

[Sk_Anonymous]

Ne risolvo uno ( il terzo) come modello.
Seguendo la formula devi porre :
$x^2/{(1+x^2)^3}=(Ax+B)/{(1+x^2)}+d/{dx}{Cx^3+Dx^2+Ex+F}/{(1+x^2)^2}$
Poiché a primo membro di questa relazione compare una funzione pari, altrettanto deve aversi anche a secondo membro. Ciò implica che sia $A=D=F=0$ e quindi si ha :
$x^2/{(1+x^2)^3}=(B)/{(1+x^2)}+d/{dx}{Cx^3+Ex}/{(1+x^2)^2}$
Facendo i dovuti calcoli ed applicando il principio d'identità dei polinomi, trovi che :
$B=C=1/8,E=-1/8$
Pertanto :
$x^2/{(1+x^2)^3}=1/8 \cdot 1/{1+x^2}+1/8 d/{dx}{x^3-x}/{(1+x^2)^2}$
Integrando si ha infine :
$int x^2/{(1+x^2)^3}=1/8 arctanx+1/8 {x^3-x}/{(1+x^2)^2)+\text[costante]$

[William990]

"ciromario":Ne risolvo uno ( il terzo) come modello.
Seguendo la formula devi porre :
$ x^2/{(1+x^2)^3}=(Ax+B)/{(1+x^2)}+d/{dx}{Cx^3+Dx^2+Ex+F}/{(1+x^2)^2} $
Poiché a primo membro di questa relazione compare una funzione pari, altrettanto deve aversi anche a secondo membro. Ciò implica che sia $ A=D=F=0 $ e quindi si ha :
$ x^2/{(1+x^2)^3}=(B)/{(1+x^2)}+d/{dx}{Cx^3+Ex}/{(1+x^2)^2} $
Facendo i dovuti calcoli ed applicando il principio d'identità dei polinomi, trovi che :
$ B=C=1/8,E=-1/8 $
Pertanto :
$ x^2/{(1+x^2)^3}=1/8 \cdot 1/{1+x^2}+1/8 d/{dx}{x^3-x}/{(1+x^2)^2} $
Integrando si ha infine :
$ int x^2/{(1+x^2)^3}=1/8 arctanx+1/8 {x^3-x}/{(1+x^2)^2)+\text[costante] $

mmm...perchè senza calcoli trovi che $ A=D=F=0 $

[Sk_Anonymous]

@William
Il perché debba essere $A=D=F=0$ te l'ho già detto. A primo membro compare una funzione pari e dunque a secondo membro deve essere altrettanto. Ciò implica che devono sparire dal secondo membro tutte le potenze dispari della variabile $ "x"$. Pertanto deve sparire $Ax$ e quindi $A=0$ ma devono sparire anche i termini $Dx^2$ e $F$ che , pur essendo in partenza formalmente pari, con la derivazione diventano dispari. Ti faccio qualche esempio. Il termine
$x^3$ è dispari ma con la derivazione diventa $3x^2$ che è pari. La funzione $sinx$ è notoriamente dispari ma la sua derivata $cosx$ è pari.