Integrali con errore 10^-2
E' il mio primo esercizio di questo tipo, quindi volevo chiedere pareri.
"Calcolare con errore inferiore a 0.01 l'integrale:
$ int_(0)^(ln2) arctan((e^-x)/3) dx $ "
$ e^-x=1-x+x^2/2-x^3/6+o(x^3) $
$ e^-x/3=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
$ arctan(x)=x+o(x) $
$ arctan(e^-x/3)=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
cioè $ sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) $
Quindi:
$ int_(0)^(ln2) sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) int_(0)^(ln2) x^n dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) [ln2^(n+1)/(n+1)] = $
Comincio a sostituire i valori di k fino al termine minore di $ 10^-2 $.
$ = ln2/3-(ln2)^2/6 $
La soluzione è $ (2ln2-(ln2)^2)/6 $ ~ $ 0.15 $
"Calcolare con errore inferiore a 0.01 l'integrale:
$ int_(0)^(ln2) arctan((e^-x)/3) dx $ "
$ e^-x=1-x+x^2/2-x^3/6+o(x^3) $
$ e^-x/3=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
$ arctan(x)=x+o(x) $
$ arctan(e^-x/3)=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
cioè $ sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) $
Quindi:
$ int_(0)^(ln2) sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) int_(0)^(ln2) x^n dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) [ln2^(n+1)/(n+1)] = $
Comincio a sostituire i valori di k fino al termine minore di $ 10^-2 $.
$ = ln2/3-(ln2)^2/6 $
La soluzione è $ (2ln2-(ln2)^2)/6 $ ~ $ 0.15 $
Risposte
Lo sviluppo in serie sottostante:
vale per $x rarr 0$, più in generale, quando l'argomento dell'arcotangente tende a $0$. Nel tuo caso, poiché:
l'argomento dell'arcotangente tende a $1/3$. Insomma, nel tuo caso quello sviluppo in serie è inapplicabile.
$arctanx=x+o(x)$
vale per $x rarr 0$, più in generale, quando l'argomento dell'arcotangente tende a $0$. Nel tuo caso, poiché:
$lim_(x->0)e^(-x)/3=1/3$
l'argomento dell'arcotangente tende a $1/3$. Insomma, nel tuo caso quello sviluppo in serie è inapplicabile.
www.wolframalpha.com
Ho capito.
Quindi come si risolve in questi casi?
Quindi come si risolve in questi casi?
L’approssimazione non è corretta perché se provi con un calcolatore ti viene maggiore di $10^(-2)$ e tra i tuoi calcoli non è presente alcuna stima dell’errore commesso.
se vuoi un modo che non utilizzi Taylor un'idea può essere la seguente
ad ogni modo per questi problemi, se vuoi usare Taylor, ti conviene utilizzare il resto di Lagrange.
Il motivo è dato dal fatto che per una funzione $f in C^(n+1)$, all'interno di un certo intervallo $(a,b)$ ,
da cui per le proprietà dell'integrale
con questo puoi stimare "tranquillamente" l'errore da commettere scegliendo opportunamente $x_0$ e $n$
puoi notare che se nel tuo caso prendi $n=1$ e $x_0=1/2$ l'errore commesso ti viene $leq0.00529$
se vuoi un modo che non utilizzi Taylor un'idea può essere la seguente
ad ogni modo per questi problemi, se vuoi usare Taylor, ti conviene utilizzare il resto di Lagrange.
Il motivo è dato dal fatto che per una funzione $f in C^(n+1)$, all'interno di un certo intervallo $(a,b)$ ,
$abs(f(x)-sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n)leqnorm(f^((n+1)))_(infty)*abs(x-x_0)^(n+1)/((n+1)!)$
da cui per le proprietà dell'integrale
$abs(int_(a)^(b)f(x)dx-int_(a)^(b)sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(n!)(x-x_0)^ndx)leqnorm(f^((n+1)))_(infty)/((n+1)!)*int_(a)^(b)abs(x-x_0)^(n+1)dx$
con questo puoi stimare "tranquillamente" l'errore da commettere scegliendo opportunamente $x_0$ e $n$
puoi notare che se nel tuo caso prendi $n=1$ e $x_0=1/2$ l'errore commesso ti viene $leq0.00529$
Provo a svolgerlo con Lagrange.
$ f(x)= f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + f'''(c)x^3/3 $
con $ c in [a,b] $
Calcolo $ f'(x)= (-e^-x)/(3+(e^(-2x))/3) $;
$ f''(x)=(3e^-x-(e^(-3x))/3 )/(9(1+(e^(-2x))/9)^2) $
$ f'''(x)= -2/3 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3)$
Quindi:
$ f(x)= arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) x^3 $
Il risultato è:
$ int_(0)^(ln2) arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 dx = arctan(1/3) - 3/20 (ln2)^2 + 6/150 (ln2)^3 $
Mentre l'errore:
$ - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) int_(0)^(ln2) x^3 dx = - 1/18 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) (ln2)^4 $
$ f(x)= f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + f'''(c)x^3/3 $
con $ c in [a,b] $
Calcolo $ f'(x)= (-e^-x)/(3+(e^(-2x))/3) $;
$ f''(x)=(3e^-x-(e^(-3x))/3 )/(9(1+(e^(-2x))/9)^2) $
$ f'''(x)= -2/3 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3)$
Quindi:
$ f(x)= arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) x^3 $
Il risultato è:
$ int_(0)^(ln2) arctan(1/3) - 3/10 x + 6/50 x^2 dx = arctan(1/3) - 3/20 (ln2)^2 + 6/150 (ln2)^3 $
Mentre l'errore:
$ - 2/9 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) int_(0)^(ln2) x^3 dx = - 1/18 (e^(-3c)+9/2e^(-c) +2/e^(-5c))/((1+(e^(-2c))/9)^3) (ln2)^4 $
La derivata che hai calcolato l'hai verificata? perché mi risulta sbagliata, inoltre non è vero che esiste $xi in (a,b)$ per cui l'uguaglianza
valga per ogni $x in (a,b)$; il valore $xi in(a,b)$ dipende sia da $x_0$ sia da $x$
Non a caso ho messo quel $norm(f^(n+1))_(infty):= s u p_(xi in (a,b))abs(f^(n+1)(xi))$
per decidere una buona approssimazione bisogna lavorare sulla quantità
è chiaro che puoi cercare di minimizzare la coppia (n,t) ma è sufficiente capire anche con cosa si ha a che fare; in questo caso le derivate diventano noiose(da calcolare) già dal terzo ordine in poi. Per esercitarti ti conviene partire da $n=1$ per svolgere qualche conto
[size=85]
bisogna minimizzare $p_1$ in modo tale da trovare il centro di sviluppo migliore
è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $t=(log(2))/2$
mentre il minimo dell'integrale è $(log^3(2))/4$
la derivata seconda è una funzione decrescente quindi $norm(f^((2)))_(infty)=f^((2))(0)=(24)/(10^2)$
pertanto l'errore commesso $leqp_1(t)=(24/10^2)*1/6*(log^3(2))/4=(log^3(2))/10^2<1/10^2$
di fatto $2 log(2) log^3(2)<1 => (log^3(2))/10^2<1/10^2$
in realtà è circa $0.0033$ quindi è parecchio minore di $0.01$
quindi si ha un'ottima approssimazione con
dove $f'(x_0)$ puoi anche non calcolarlo poiché $int_(0)^(log(2))(x-log(2)/2)dx=0$
L'unica cosa calcolosa è data giusto dal dimostrare che $f^((2))(x)$ sia decrescente
$f(x)=sum_(n=0)^(2)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n+(f^((3))(xi))/(3!)(x-x_0)^3$
valga per ogni $x in (a,b)$; il valore $xi in(a,b)$ dipende sia da $x_0$ sia da $x$
Non a caso ho messo quel $norm(f^(n+1))_(infty):= s u p_(xi in (a,b))abs(f^(n+1)(xi))$
per decidere una buona approssimazione bisogna lavorare sulla quantità
$p_n(t)=norm(f^((n+1)))_(infty)/((n+1)!)int_(a)^(b)abs(x-t)^(n+1)dx$
è chiaro che puoi cercare di minimizzare la coppia (n,t) ma è sufficiente capire anche con cosa si ha a che fare; in questo caso le derivate diventano noiose(da calcolare) già dal terzo ordine in poi. Per esercitarti ti conviene partire da $n=1$ per svolgere qualche conto
[size=85]
$ p_(1)(t)=norm(f^((2)))_(infty)/2int_(0)^(log(2))(x-t)^2dt=norm(f^((2)))_(infty)/6[(log(2)-t)^3+t^3]=norm(f^((2)))_(infty)/6(log^3(2)-3tlog^2(2)+3t^2log(2)) $
[/size]bisogna minimizzare $p_1$ in modo tale da trovare il centro di sviluppo migliore
è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $t=(log(2))/2$
mentre il minimo dell'integrale è $(log^3(2))/4$
la derivata seconda è una funzione decrescente quindi $norm(f^((2)))_(infty)=f^((2))(0)=(24)/(10^2)$
pertanto l'errore commesso $leqp_1(t)=(24/10^2)*1/6*(log^3(2))/4=(log^3(2))/10^2<1/10^2$
di fatto $2
in realtà è circa $0.0033$ quindi è parecchio minore di $0.01$
quindi si ha un'ottima approssimazione con
$int_(0)^(log(2))f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)dx=log(2)*arctan(1/(3sqrt2))$
dove $f'(x_0)$ puoi anche non calcolarlo poiché $int_(0)^(log(2))(x-log(2)/2)dx=0$
L'unica cosa calcolosa è data giusto dal dimostrare che $f^((2))(x)$ sia decrescente
"anto_zoolander":
è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $ t=(log(2))/2 $
Da qui non ti seguo più.
Quale parabola?
La quantità $y(t)=3t^2log(2)-3tlog^2(2)+log^3(2)$
È una parabola quindi puoi fare la considerazione sul minimo
È una parabola quindi puoi fare la considerazione sul minimo
E perché voglio valutarla proprio nel punto di minimo?
Per la derivata seconda, perché prendiamo $ xi =0 $ ?
Per la derivata seconda, perché prendiamo $ xi =0 $ ?
Perché minimizzando l’integrale minimizzi anche l’errore commesso nella approssimazione.
Se prendessi un altro centro la stima dell’errore massimo commesso sarebbe maggiore
Il prendere $f^((2))(0)$ è dato dal fatto che la derivata seconda è decrescente quindi l’estremo superiore sta in $xi=0$
Se prendessi un altro centro la stima dell’errore massimo commesso sarebbe maggiore
Il prendere $f^((2))(0)$ è dato dal fatto che la derivata seconda è decrescente quindi l’estremo superiore sta in $xi=0$
Allora forse sto sbagliando la derivata.
$ f'=(-2e^(-x))/(4+e^(-2x)) $
$ f''=(8e^(-x)-2e^(-3x))/(4+e^(-2x))^2 $
E trovo:
$ f''(0)=6/25 $
$ f'=(-2e^(-x))/(4+e^(-2x)) $
$ f''=(8e^(-x)-2e^(-3x))/(4+e^(-2x))^2 $
E trovo:
$ f''(0)=6/25 $
Anche la derivata prima è sbagliata.
Se la funzione è $arctan(e^(-x)/3)$ come fanno a spuntarti i termini $2,4$
Se la funzione è $arctan(e^(-x)/3)$ come fanno a spuntarti i termini $2,4$
Okay, adesso mi trovo.
Qui siamo certi di poterci fermare ad f' perché prima abbiamo assunto n+1=2?
E questa cos'è?
$ int_(0)^(log(2))f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)dx=log(2)*arctan(1/(3sqrt2)) $
Qui siamo certi di poterci fermare ad f' perché prima abbiamo assunto n+1=2?
$ int_(0)^(log(2))(x-log(2)/2)dx=0 $
E questa cos'è?
Siamo certi perché si è stimato l’errore come minore don $10^(-2)$
Quell’integrale è $int_(0)^(log(2))f’(x_0)(x-x_0)dx$; ho usato la linearità
Quell’integrale è $int_(0)^(log(2))f’(x_0)(x-x_0)dx$; ho usato la linearità
E se volessi approssimare con un errore inferiore a 0.1 l'integrale:
$ int_(0)^(1) arctan(1/x^10) dx $
come potrei minimizzare il risultato dell'integrale di (x-t)?
$ || f^(1) ||_oo int_(0)^(1) (x-t) dx $
$ || f^(1) ||_oo (1/2-t) $
Quindi ottengo una retta di equazione 1/2-t.
Quale valore di t scelgo per minimizzare?
$ int_(0)^(1) arctan(1/x^10) dx $
come potrei minimizzare il risultato dell'integrale di (x-t)?
$ || f^(1) ||_oo int_(0)^(1) (x-t) dx $
$ || f^(1) ||_oo (1/2-t) $
Quindi ottengo una retta di equazione 1/2-t.
Quale valore di t scelgo per minimizzare?
Up
Non c'è una regola generica per fare questi conti senza un calcolatore
In questo caso usare Taylor non conviene in quanto derivare diventa un massacro a livello di conti
so che $arctan(1/x^10)
a questo punto posso aggiungere un termine $x^n$ ottenendo $underbrace(arctan(1/x^10))_(f(x))+underbrace(x^n-pi/2)_(-p_n(x))
la funzione $g(x)=f(x)-p_n(x)$ ha derivata $g'(x)=(nx^(n+19)+nx^(n-1)-10x^9)/(1+x^20)$
se poni $n=10$ ottieni una funzione con derivata strettamente positiva in $(0,1)$ ed essendo $g(0)=0$ si ottiene che $g$ è anche positiva pertanto
l'integrale $int_(0)^(1)x^10=1/11<1/10$
pertanto l'errore che si commette approssimando $int_(0)^(1)f(x)dx$ con $int_(0)^(1)p_10(x)dx$ è minore di $0.1$
e l'approssimazione risulta essere $int_(0)^(1)(pi/2-x^10)dx=pi/2-1/11$
In questo caso usare Taylor non conviene in quanto derivare diventa un massacro a livello di conti
so che $arctan(1/x^10)
a questo punto posso aggiungere un termine $x^n$ ottenendo $underbrace(arctan(1/x^10))_(f(x))+underbrace(x^n-pi/2)_(-p_n(x))
la funzione $g(x)=f(x)-p_n(x)$ ha derivata $g'(x)=(nx^(n+19)+nx^(n-1)-10x^9)/(1+x^20)$
se poni $n=10$ ottieni una funzione con derivata strettamente positiva in $(0,1)$ ed essendo $g(0)=0$ si ottiene che $g$ è anche positiva pertanto
$abs(int_(0)^(1)f(x)dx-int_(0)^(1)p_10(x)dx)leq int_(0)^(1)abs(f(x)-p_10(x)dx)leq int_(0)^(1)x^10dx$
l'integrale $int_(0)^(1)x^10=1/11<1/10$
pertanto l'errore che si commette approssimando $int_(0)^(1)f(x)dx$ con $int_(0)^(1)p_10(x)dx$ è minore di $0.1$
e l'approssimazione risulta essere $int_(0)^(1)(pi/2-x^10)dx=pi/2-1/11$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo