Integrali con denominatore di secondo grado
ciao ragazzi
non mi è chiaro come si possa risolvere un integrale con denominatore il cui discriminante sia $<0$
$int x/(x^2+2x+4)dx$
sul libro riporta questo esempio e aggiunge dicendo che si scompone la frazione in due addenti:
il primo deve avere come numeratore, la derivata del denominatore
il secondo deve avere una costante al numeratore
$int x/(x^2+2x+4)dx=1/2 int (2x+2)/(x^2+2x+4)dx-int 1/(x^2+2x+4)$
La mia domanda è: perchè ha moltiplicato per $1/2$ il primo addendo e per $-1$ il secondo?
C'è qualche regola che mi sfugge? non riesco a trovare il nesso logico...
potete aiutarmi perfavore?
non mi è chiaro come si possa risolvere un integrale con denominatore il cui discriminante sia $<0$
$int x/(x^2+2x+4)dx$
sul libro riporta questo esempio e aggiunge dicendo che si scompone la frazione in due addenti:
il primo deve avere come numeratore, la derivata del denominatore
il secondo deve avere una costante al numeratore
$int x/(x^2+2x+4)dx=1/2 int (2x+2)/(x^2+2x+4)dx-int 1/(x^2+2x+4)$
La mia domanda è: perchè ha moltiplicato per $1/2$ il primo addendo e per $-1$ il secondo?
C'è qualche regola che mi sfugge? non riesco a trovare il nesso logico...
potete aiutarmi perfavore?
Risposte
Al numeratore ha sommato e sottratto [tex]$1$[/tex].
Poi ha distribuito il denominatore: [tex]$\int \frac{x + 1}{x^2+2x+4} - \frac{1}{x^2+2x+4} dx = \int \frac{x + 1}{x^2+2x+4} dx - \int \frac{1}{x^2+2x+4} dx $[/tex].
Moltiplicando e dividendo il primo integrale per [tex]$2$[/tex] si mette nella condizione di avere il numeratore cheè esattamente la derivata del denominatore; per cui l'integrazione è immediata.
Poi ha distribuito il denominatore: [tex]$\int \frac{x + 1}{x^2+2x+4} - \frac{1}{x^2+2x+4} dx = \int \frac{x + 1}{x^2+2x+4} dx - \int \frac{1}{x^2+2x+4} dx $[/tex].
Moltiplicando e dividendo il primo integrale per [tex]$2$[/tex] si mette nella condizione di avere il numeratore cheè esattamente la derivata del denominatore; per cui l'integrazione è immediata.
ah ok... quindi non è che al numeratore si prende e si mette (bell e buono direbbero a napoli)direttamente la derivata del denominatore... bisogna ricavarsela in qualche modo senza far variare il valore dell'equazione $(x+1)/(x^2+2x+4)=0$
giusto? cioè scrivendola in modo alternativo...
Giusto per rinfrascarmi la memoria
per fare trovare i modi altrenativi per scrivere un'equazione di solito o si moltiplica l'equazione di partenza per la stessa quantità al numeratore e al denominatore ad esempio $a/a \ \forall a in R$ oppure si sottrae o si aggiunge l'unità al numeratore giusto? ci sono altre strade ?
giusto? cioè scrivendola in modo alternativo...
Giusto per rinfrascarmi la memoria
per fare trovare i modi altrenativi per scrivere un'equazione di solito o si moltiplica l'equazione di partenza per la stessa quantità al numeratore e al denominatore ad esempio $a/a \ \forall a in R$ oppure si sottrae o si aggiunge l'unità al numeratore giusto? ci sono altre strade ?
"ansioso":
ah ok... quindi non è che al numeratore si prende e si mette (bell e buono direbbero a napoli)direttamente la derivata del denominatore...
Certo che no! Cosa vorresti fare altrimenti?
"ansioso":
bisogna ricavarsela in qualche modo senza far variare il valore dell'equazione $(x+1)/(x^2+2x+4)=0$
Cosa volevi dire qui?
Secondo me, intendeva dire che con dei passaggi algebrici, era necessario ricavarsi al numeratore la derivata del denominatore, lasciando inalterato la funzione in se'.
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