Integrali Complessi con Residui Esterni ed Interni diversi

[p_koelio]

Salve amici,
oggi sto smenando per per riuscire a capire perché in un esercizio di analisi complessa mi vengono fuori risultati diversi per il calcolo di un integrale lungo un percorso chiuso usando il teorema dei residui, ma facendo per residui interni ed esterni rispettivamente ho risultati diversi!
Vi posto la mia soluzione in forma scritta e spero qualcuno scovi l'errore perché sto impazzendo:

[Pierlu11]

Controlla che tipo di singolarità ha $ -1/z^2f(1/z) $ in $ z=0 $ prima di calcolare il residuo...

[p_koelio]

allora quella è una essenziale! e quindi non si può far così l'integrale per residui all'esterno... grazie mille!

Volendo continuare invece all'esterno, come potrei proseguire? Convertire e^-z in una serie di potenze?

[Pierlu11]

Dovresti calcolare il residuo nella singolarità essenziale cercando di sviluppare in serie di Laurent (basta calcolare il coefficiente di $ 1/z $ senza scrivere esplicitamente tutto lo sviluppo in serie).