Integrali, calcolo dell'area della frontiera
Si calcoli l'area della frontiera dei seguenti insiemi:
1)$ E={(x,y,z) in R^3 : sqrt( x^2+y^2)<= z<= sqrt( 2-x^2-y^2)} $
2)$ F={(x,y,z) in R^3 : (x^2+y^2)<= z<= sqrt( 2-x^2-y^2), z>=0} $
Risultati:
1) $pi(4-sqrt2)$
2) $pi/12(5^{3/2}-1)+ pi(2-sqrt2) + pi/2 + 1/3 $
Il primo insieme è racchiuso tra un cono e una sfera di centro $(0,0,0)$ e raggio 1
Il secondo è racchiuso tra un paraboloide e una sfera di centro $(0,0,0)$ e raggio 1, con $z$ positivo.
In entrambi i casi ho provato a fare un cambiamento di variabili, nel primo ho usato le coordinate sferiche, nel secondo quelle cilindriche con asse parallelo a z.
Ma secondo me non imposto bene l'integrale, per esempio nel primo caso mi viene :
$int_0^{2pi} int_0^{pi/4} int_0^sqrt2 rho^2 sentheta$ $drho$ $d theta$ $dphi$
E non mi trovo
... dove sbaglio?
1)$ E={(x,y,z) in R^3 : sqrt( x^2+y^2)<= z<= sqrt( 2-x^2-y^2)} $
2)$ F={(x,y,z) in R^3 : (x^2+y^2)<= z<= sqrt( 2-x^2-y^2), z>=0} $
Risultati:
1) $pi(4-sqrt2)$
2) $pi/12(5^{3/2}-1)+ pi(2-sqrt2) + pi/2 + 1/3 $
Il primo insieme è racchiuso tra un cono e una sfera di centro $(0,0,0)$ e raggio 1
Il secondo è racchiuso tra un paraboloide e una sfera di centro $(0,0,0)$ e raggio 1, con $z$ positivo.
In entrambi i casi ho provato a fare un cambiamento di variabili, nel primo ho usato le coordinate sferiche, nel secondo quelle cilindriche con asse parallelo a z.
Ma secondo me non imposto bene l'integrale, per esempio nel primo caso mi viene :
$int_0^{2pi} int_0^{pi/4} int_0^sqrt2 rho^2 sentheta$ $drho$ $d theta$ $dphi$
E non mi trovo
... dove sbaglio?
Risposte
ma devi calcolarti l'area della frontiera o il volume?
l'integrale che imposti serve per trovare il volume
l'integrale che imposti serve per trovare il volume
Esatto devo trovare l'area della frontiera.
Come si fa?
Come si fa?
Allora ci riprovahoto:
1)Considero la sfera $sqrt(2-x^2-y^2)$
Che parametrizzo così
${(x=x),(y=y),(z=f(x,y)):}$
Questa sfera proiettata sul piano $xy$ mi dà il cerchio $x^2+y^2<=2$
L'integrale diventa :
$int sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dxdy=int sqrt(1+ x^2/{2-x^2-y^2} + y^2/{2-x^2-y^2})dxdy$
Ha senso il mio ragionamento fin qui?
1)Considero la sfera $sqrt(2-x^2-y^2)$
Che parametrizzo così
${(x=x),(y=y),(z=f(x,y)):}$
Questa sfera proiettata sul piano $xy$ mi dà il cerchio $x^2+y^2<=2$
L'integrale diventa :
$int sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dxdy=int sqrt(1+ x^2/{2-x^2-y^2} + y^2/{2-x^2-y^2})dxdy$
Ha senso il mio ragionamento fin qui?
perfetto. ora devi mettere i giusti estremi di integrazione che devi trovare osservando come è fatto l'insieme
Ho provato con le coordinate polari con $0
attenzione!
$\rho$ è fissato e vale $\sqrt(2)$... le variabili che descrivono la calotta sferica che hai sono gli angoli $\theta$ e $\phi$, quindi la sostituzione corretta è $dxdy -> J d\theta d\phi$.
prima di inoltrarti in oscuri meandri, ti consiglio di fare un passino indietro e riparametrizzare la superficie sferica usando le coordinate sferiche.
$\rho$ è fissato e vale $\sqrt(2)$... le variabili che descrivono la calotta sferica che hai sono gli angoli $\theta$ e $\phi$, quindi la sostituzione corretta è $dxdy -> J d\theta d\phi$.
prima di inoltrarti in oscuri meandri, ti consiglio di fare un passino indietro e riparametrizzare la superficie sferica usando le coordinate sferiche.
In coordinate sferiche $0
vediamo, cerco di fare questo esercizio con te:
in c.sferiche, la calotta è
\(f(x,y,z) = \begin{cases} x= \sqrt2 sin\theta cos\phi \\ y = \sqrt2 sin\theta sin \phi \\ z = \sqrt2 cos\theta \end{cases}\)
se calcoli il solito $|f_{\theta} \times f_{\phi}|$ da inserire nell'integrale di superficie, ottieni che tutto l'oggetto dopo il simbolo di integrale è $\rho^2 sin\theta d\theta d\phi$, dove in questo caso $\rho = \sqrt2$.
in definitiva devi calcolarti questo integrale:
$\int (\sqrt2)^2 sin\theta d\theta d\phi$
gli estremi di integrazione... beh, li hai già trovati
in c.sferiche, la calotta è
\(f(x,y,z) = \begin{cases} x= \sqrt2 sin\theta cos\phi \\ y = \sqrt2 sin\theta sin \phi \\ z = \sqrt2 cos\theta \end{cases}\)
se calcoli il solito $|f_{\theta} \times f_{\phi}|$ da inserire nell'integrale di superficie, ottieni che tutto l'oggetto dopo il simbolo di integrale è $\rho^2 sin\theta d\theta d\phi$, dove in questo caso $\rho = \sqrt2$.
in definitiva devi calcolarti questo integrale:
$\int (\sqrt2)^2 sin\theta d\theta d\phi$
gli estremi di integrazione... beh, li hai già trovati
OK!
Avevo provato a farlo e mi trovo con quello che dici tuuu
Ora devo considerare il cono?
Avevo provato a farlo e mi trovo con quello che dici tuuu
Ora devo considerare il cono?
eh già.
ma dovresti aver mangiato la foglia ormai
ma dovresti aver mangiato la foglia ormai
Speriamo, non so ancora se ho capito bene quello che ho fatto e come l'ho fatto xD
Allora ora provo a mettere in pratica tutte queste cose che dovrei aver capito!
Allora ora provo a mettere in pratica tutte queste cose che dovrei aver capito!
in sintesi:
il dominio che vi ti vien dato ha la forma $g(x,y)<=z<=f(x,y)$.
le curve sono proprio $g(x,y)$ e $f(x,y)$ che vanno separatamente parametrizzate tenendo conto del vincolo appena scritto. gli estremi di integrazione da mettere agli integrali li trovi sempre dal vincolo.
il dominio che vi ti vien dato ha la forma $g(x,y)<=z<=f(x,y)$.
le curve sono proprio $g(x,y)$ e $f(x,y)$ che vanno separatamente parametrizzate tenendo conto del vincolo appena scritto. gli estremi di integrazione da mettere agli integrali li trovi sempre dal vincolo.
Allora considero il cono z=sqrt(x^2+y^2)
${(x=x),(y=y),(z=sqrt(x^2+y^2)):}$
E faccio quello che ho provato a fare col mio primo tentativo!
$int sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dxdy=int sqrt(1+ x^2/{x^2+y^2} + y^2/{x^2+y^2})dxdy=int sqrt2$
Proiettato sull'asse $xy$ ho come limitazione $x^2+y^2<1$
Passando in coordinate polari il risultato è $ sqrt2 pi$ che sommato con l'altra che era $4pi -2sqrt2 pi $ mi dà l'area giusta!!
Ma ho fatto bene così?
${(x=x),(y=y),(z=sqrt(x^2+y^2)):}$
E faccio quello che ho provato a fare col mio primo tentativo!
$int sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dxdy=int sqrt(1+ x^2/{x^2+y^2} + y^2/{x^2+y^2})dxdy=int sqrt2$
Proiettato sull'asse $xy$ ho come limitazione $x^2+y^2<1$
Passando in coordinate polari il risultato è $ sqrt2 pi$ che sommato con l'altra che era $4pi -2sqrt2 pi $ mi dà l'area giusta!!
Ma ho fatto bene così?
si direi di si...
non ne sono certissimo, ma è abbastanza convincente come metodo...
mi spiace, non posso dartene la certezza
non ne sono certissimo, ma è abbastanza convincente come metodo...
mi spiace, non posso dartene la certezza
Ho provato a cambiare parametrizzazione
ma non sono riuscita a determinare gli estremi di integrazione,
Il libro suggerisce questo metodo.
Tu come avresti fatto?
ma non sono riuscita a determinare gli estremi di integrazione,
Il libro suggerisce questo metodo.
Tu come avresti fatto?
ah boh. probabilmente avrei tentato le coordinate cilindriche per poi finire in un vicolo cieco forse
Ahahaha
Comunque devo ancora fare il secondo esercizio, ho provato con le coordinate cilindriche..
ma non mi raccapezzo, mi sa che non le so usare, più tardi posto il mio tentativo
Comunque devo ancora fare il secondo esercizio, ho provato con le coordinate cilindriche..
ma non mi raccapezzo, mi sa che non le so usare, più tardi posto il mio tentativo
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