Integrali & Geometria

[DarkSepiroth]

Ciao a tutti, ho qualche problema nella soluzione di questo problema:
Dato il sottoinsieme $ T $ di $ \mathbb{R}^3 $ definito da $ \{ (x,y,z) : 2(x^2 + y^2) \le z \le x+y \} $, chiamiamo $ C $ la proiezione di $ T $ sul piano $ (x,y) $.
Le consegne sono:
1) Disegnare con precisione $C$ a partire da un disegno approssimativo di $T$
2) Calcolare $ \int \int_{C} 2(x^2 +y^2) dx dy $ e interpretare geometricamente questo integrale.
3) Calcolare $ \int \int_{C} (x+y) dx dy $ e interpretare geometricamente questo integrale.

Chi può' aiutarmi? Soprattutto, visto che non riesco a trovare un modo per vedere bene e precisamente $C$,nonostante mi sia fatto un'idea più o meno precisa di $T$, non ho potuto calcolare gli integrali...

[Seneca1]

$z = x + y$ è un piano, mentre $z/2 = x^2 + y^2$ è un paraboloide. $T$ è l'insieme dei punti di $RR^3$ compresi tra queste due superfici. Ci sei?

[DarkSepiroth]

certo certo, il punto è che non riesco a disegnare con precisione $C$ : mi servirebbe un modo (non so quale) per trovare la curva data dall'intersezione fra le due superfici, anche se so più o meno come è fatta. Il fatto che mi serve con precisione è utile per il calcolo degli integrali...

[Seneca1]

In realtà, se non ho preso un abbaglio, è più semplice di quel che credi.

${(2x^2 + 2y^2 = z),(x + y = z):}$

sostituendo si trova $x^2 + y^2 - x/2 - y/2 = 0$, che è l'equazione di una circonferenza nel piano $xy$ di centro $P(1/4 , 1/4)$ (puoi parametrizzarla senza problemi). Ricorda tuttavia che per $z < 0$ non hai soluzioni, quindi $x + y < 0$, ovvero $y < - x$.

[DarkSepiroth]

Oddio è assolutamente vero.
In questi giorni ero così concentrato su algebra che ho preso questa cantonata. Quindi sostanzialmente $ C $ è l'interno del cerchio bordato dalla circonferenza, intersecato con la condizione che $ y \le -x $.
E sull'interpretazione degli integrali che mi dici?