Integrali

[jade87-votailprof]

Allora:
1. $\int x*(cos(2x^2)) dx$

Io risolverei cosi:

$1/2 * 2 \int x* (cos(2x^2)) dx$

$1/2 \int 2x * (cos(2x^2)) dx$ a questop punto per: $\int f'(x) * cos(f(x)) dx = sen (f(x)) +c$

$1/2 * sen(2x^2) + c$

$(sen(2x^2))/2$



2. $\int_0^1 (1+x)/(1+x^2)dx$

Io risolverei cosi:

$\int_0^1 1/(1+x^2) + (x/(1+x^2))dx$

$\int_0^1 1/(1+x^2) dx + \int_0^1 (x/(1+x^2))dx$

$\int_0^1 1/(1+x^2) dx + \int_0^1 (1/2)*((2x)/(1+x^2))dx$

a questo punto per: $1/(1+x^2) dx -> arctg(x) + c$

mentre per: $((2x)/(1+x^2)) -> log|f(x)| + c$

quindi:
$\int_0^1 arctg + c + \int_0^1 log|1 + x^2| + c$

$arctg(1) - arctg(0) + 1/2 (log |1+1| - log|1+0|)$

$pi/4 - 0 + 1/2(log|2/1|)$

$pi/4 + 1/2*log|2|$

$pi/4 + (log|2|/2)$

$(pi + 2log|2|)/ 4$


NOTA: per $(2x/(1+x^2))$ si potrebbe anche usare $arctg(f(x)) + c$ usando questa il risultato è $3pi/8$.. è indifferente quale usare??

[Angelo D.1]

"jade.87":a questop punto per: $\int f'(x) * cos(f(x)) dx = sen (f(x)) +c$

Se [tex]$f(x) = 2x^2 \Rightarrow f'(x) = 4x$[/tex] , quindi invece di moltiplicare e dividere per [tex]2[/tex] , dovresti farlo per [tex]4[/tex] , ricordo per la verifica del risultato di un integrale indefinito, calcola la derivata del risultato, e se risulta uguale alla funzione integranda di partenza, allora hai fatto bene.

"jade.87":quindi:
$\int_0^1 arctg + c + \int_0^1 log|1 + x^2| + c$

E' più corretto scrivere così:

[tex]$ \big[ \arctan (x) + \frac{1}{2}\log (1 + x^2) \big]_{0}^{1} $[/tex]

E non ci vuole il valore assoluto, in quanto [tex]$x^2 + 1 > 0 \Rightarrow$[/tex] Sempre!

"jade.87":NOTA: per $(2x/(1+x^2))$ si potrebbe anche usare $arctg(f(x)) + c$ usando questa il risultato è $3pi/8$.. è indifferente quale usare??

Non capisco in quale modo potresti usare tale "regola"..