Integrali

[Lor901]

ho bisogno di capire dove sbaglio nel calcolo di questo integrale: $ int cos(x)^3 $
allora se lo faccio per parti [ cos(x)*cos(x)^2] e pongo: f(x)=cos quindi f'(x)=-sin(x) e g'(x)=cos(x)^2 quindi g(x)= $ 1/2*(x+sin(x)cos(x) ) $
applicando la formula risulta: $ int cos(x)^3 $ = $ 1/2*(xcos(x)+sin(x)cos(x)^2 ) $ $ -int 1/2*(-xsin(x)-sin(x)^2cos(x) ) $
riordinando un po le cose risulta: $ xcos(x)//2 $ + $ sin(x)cos(x)^2//2 $ + $ 1/2 int xsin(x) $ + $ 1/2 int sin(x)^2cos(x) $
adesso:
$ 1/2 int xsin(x) $= $ 1/2 *(-xcos(x)+sin(x)) $
e
$ 1/2 int sin(x)^2cos(x) $ = $ 1/2 *int (1-cos(x)^2)*cos(x)) $ = $ -1/2*sin() $ $ -1/2*int cos(x)^3 $
alla fine alcuni termini si elidono e mi risulta:
$ 3/2*int cos(x)^3=1/2*(sin(x)cos(x)^2)=> 1/3*( sinx -sin(x)^3) $
mentre il risultato esatto sarebbe: $ sinx -1/3*sin(x)^3 $
DOVE SBAGLIO???
poi c'è anche questo:
$ int sqrt(1-x//1+x) $ il libro mi dice di sostituire x=sint, ok ma poi non riesco ad andare avanti....
grazie...

[f4st1]

Io ho risolto cosi:
$int cos^3x dx=int cos^2xcosx dx=int (1-sen^2x)cosx dx= int(cos-sen^2x cosx)dx=$
$int cosx dx- int sen^2x cosx dx= senx +int sen^2x (-cosx) dx= senx +1/3sen^3x+c$

$int sen^2x (-cosx) dx= [ int f^a(x) * f'(x) dx=1/(a+1) f^(a+1)]= 1/3sen^3x+c$

[deserto1]

Beninteso che è $senx -int sen^2x (cosx) dx= senx -1/3sen^3x+c$

Per l'altro integrale, se è
$ int sqrt((1-x)/(1+x)) $ , ti basta effettivamente sostituire $x=sint$, trovare $dx$ e razionalizzare.

[Raptorista1]

Una soluzione alternativa al primo è scriverlo come [tex]\int \cos^2 x \cdot \cos x dx[/tex] e poi sostituire [tex]\sin x = u[/tex] e [tex]\cos x \cdot dx = du[/tex], il resto è banale.

[Lor901]

grazie a tutti per l'aiuto!!!