Integrali
Ciao a tutti! Ho qualche problema con il calcolo degli integrali. Posso chiedervi di aiutarmi? Sono un po' nelle curve con l'applicazione dei metodi di soluzione, vorrei chiedervi se potete mostrarmeli e spiegarmeli bene, in modo da chiarirmi le idee...
1) $ int (dx)/(xsqrt(1-x^2)) $ Questo va risolto per sostituizione. Ho provato a elevare x al quadrato facendolo entrare nella radice. Ho sostituito $ t=x^2$ e ho ottenuto $arcsent+c=arcsenx^2+c$. Ma il libro dà come soluzione $-se t t a nh(sqrt(1-x^2))+c$. Però mi sembra un risultato assurdo... Voi che ne dite?
2) $ int (x^2dx)/e^(5x) $ Questo invece va risolto con l'integrazione per parti. Ok, però come ragiono, visto che $e^(5x)$ è al denominatore?
3) $ int (x^2-3)/(x^3-x^2-x+1)dx $ Questo va risolto con la scomposizione in fratti semplici. Ho fatto la scomposizione, e dovrebbe venire $ int (2)/(x-1)^2dx + int 1/(x+1)dx $ . Però a questo punto non so come continuare. Il secondo termine dovrebbe venire $log |x+1|$, giusto... E il primo? Inoltre il mio libro, nella soluzione, fa precedere il logartimo da $1/2$ e non capisco da dove possa essere arrivato!
Inoltre vi chiedo un controllo. Ho risolto questa con il metodo della sostituzione: $ int x^2cosxdx = x^2sinx - int 2xcosdx = x^2sinx - 2xsinx + int 2cosxdx = x^2sinx - 2xsinx + 2sinx $ .
A me sembra corretto, peccato che il mio libro non sia d'accordo. Voi che ne dite?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
1) $ int (dx)/(xsqrt(1-x^2)) $ Questo va risolto per sostituizione. Ho provato a elevare x al quadrato facendolo entrare nella radice. Ho sostituito $ t=x^2$ e ho ottenuto $arcsent+c=arcsenx^2+c$. Ma il libro dà come soluzione $-se t t a nh(sqrt(1-x^2))+c$. Però mi sembra un risultato assurdo... Voi che ne dite?
2) $ int (x^2dx)/e^(5x) $ Questo invece va risolto con l'integrazione per parti. Ok, però come ragiono, visto che $e^(5x)$ è al denominatore?
3) $ int (x^2-3)/(x^3-x^2-x+1)dx $ Questo va risolto con la scomposizione in fratti semplici. Ho fatto la scomposizione, e dovrebbe venire $ int (2)/(x-1)^2dx + int 1/(x+1)dx $ . Però a questo punto non so come continuare. Il secondo termine dovrebbe venire $log |x+1|$, giusto... E il primo? Inoltre il mio libro, nella soluzione, fa precedere il logartimo da $1/2$ e non capisco da dove possa essere arrivato!
Inoltre vi chiedo un controllo. Ho risolto questa con il metodo della sostituzione: $ int x^2cosxdx = x^2sinx - int 2xcosdx = x^2sinx - 2xsinx + int 2cosxdx = x^2sinx - 2xsinx + 2sinx $ .
A me sembra corretto, peccato che il mio libro non sia d'accordo. Voi che ne dite?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"Vegastar":
2) $ int (x^2dx)/e^(5x) $ Questo invece va risolto con l'integrazione per parti. Ok, però come ragiono, visto che $e^(5x)$ è al denominatore?
3) $ int (x^2-3)/(x^3-x^2-x+1)dx $ Questo va risolto con la scomposizione in fratti semplici. Ho fatto la scomposizione, e dovrebbe venire $ int (2)/(x-1)^2dx + int 1/(x+1)dx $ . Però a questo punto non so come continuare. Il secondo termine dovrebbe venire $log |x+1|$, giusto... E il primo? Inoltre il mio libro, nella soluzione, fa precedere il logartimo da $1/2$ e non capisco da dove possa essere arrivato!
2) scrivi l'integrale in questo modo $intx^2e^(-5x)dx$ e applichi 2 volte l'integrazione per parti per arrivare all'integrale di un esponenziale
3) attento che forse hai sbagliato la scomposizione perchè quando al denominatore c'è un fattore ripetuto al numeratore deve venire un polinomio, nel tuo caso la frazione giusta è $(Ax+B)/(x-1)^2$
1) Wolfram non mi da nulla del genere come risultato, come sostituzione proverei con [tex]$t=1-x^2$[/tex]!
Sull'esercizio da controllare attenzione che: [tex]$\int2x\cos xdx=2x\sin x-\int2\sin xdx$[/tex].
Sull'esercizio da controllare attenzione che: [tex]$\int2x\cos xdx=2x\sin x-\int2\sin xdx$[/tex].
Grazie mille, ho capito. Solo una cosa: se sul primo sostituisco $t=1-x^2$ rimane comunque esclusa la $x$ fuori dalla radice, no? Quindi non so se funziona come sostituzione.
Lo so, però $\int2x\cos xdx$ viene sottratto a $x^2sinx$, per questo ho invertito i segni... è sbagliato?
"j18eos":
Sull'esercizio da controllare attenzione che: [tex]$\int2x\cos xdx=2x\sin x-\int2\sin xdx$[/tex].
Lo so, però $\int2x\cos xdx$ viene sottratto a $x^2sinx$, per questo ho invertito i segni... è sbagliato?
Avendoti suggerito [tex]$t=1-x^2$[/tex] si ha [tex]$x=\sqrt{1-t}$[/tex]!
Attenzione e vedi bene che non hai sbagliato i segni ma l'integrale di tale passaggio.
Attenzione e vedi bene che non hai sbagliato i segni ma l'integrale di tale passaggio.
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