Integrali

[matteomors]

Salve a tutti,ho ancora qualche integrale che non so bene come risovere:

1)$int xcosxsinx$=$int x(1-sin^2x)sinx$=$int xsinx-xsin^3x$

Adesso il primo direi che si integra per parti ma il terzo?

2)$int x^5sin(x^2)$ questo ho provato per parti ma mi rimane sempre $cos(x^2)$ e quindi sono sempre al punto di partenza...

[stefano_89]

quando l' integrando si ripete, si dicono integrali per ricorrenza: http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckdga.html

[matteomors]

Non ci salto fuori..sto provando il primo...lo potrei anche vedere come $int x-xsinxsinx$ ma poi mi perdo...e non credo che il secondo sia da meno...

[K.Lomax]

Il primo diventa banale utilizzando la formula di duplicazione del seno:

[tex]\sin2x=2\sin x\cos x[/tex]

[matteomors]

Hai ragione...ma ho scelto un caso forse troppo semplice perchè negli esami il prof ne propone sempre molti di quel tipo ad esempio uno è $int xsin^3(x)cos^2(x)$ per il quale la formula di duplicazione del seno non è applicabile...

ho pensato di applicare le formule di werner ma non credo siano applicabili quando le funzioni sono elevate a un $\alpha>1$...

per il secondo hai qualche suggerimento?ti è venuto?grazie...

[matteomors]

Raga scusate è l'ultimo giorno domani ho l'esame se dio vuole:)

gli ultimi dubbi sugli integrali erano legati al numero 2 del mio primo post e a quello del mio ultimo posto...qualcuno ha dei suggerimenti?non ci salto fuori...grazie

[K.Lomax]

Per gli integrali con funzioni trigonometriche di solito si procede o per parti o semplificando l'integrando trovando qualche relazione trigonometrica ad hoc. Ad eccezione di qualche particolare caso che puoi trovare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... nometriche, non ci sono formule generali.

[robbstark1]

Può darsi che mi sbaglio, ma credo che il primo passaggio da fare non possa essere uguale per tutti, ma che bisogni rielaborare un minimo. Ad esempio:
1. $int xcosxsenx dx = 1/2 int xsen(2x) dx$
Sostituzione: $2x=y$, $2xdx=dy$
$1/8 int yseny dy$
Questo integrale penso che lo avete visto a lezione.
2. Sostituzione: $x^2 =y$, $2xdx=dy$
$int x^5 sen(x^2) dx = 1/2 int y^2 seny dy$
Anche questo si fa per parti, iterando due volte.
3. $int x sen^3 x cos^2 x dx = int x sen^3 x dx - int x sen^5 x$, avendo usato $cos^2 x = 1-sen^2 x$ e spezzato. Entrambi gli integrali si calcolano per parti iterando più volte.
Può capitare che convenga riutilizzare la relazione $cos^2 x = 1-sen^2 x$ nei passaggi intermedi.

Per controllare i risultati, se non li hai, puoi usare il link seguente:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

[matteomors]

Grazie mille!

[matteomors]

"robbstark":Può darsi che mi sbaglio, ma credo che il primo passaggio da fare non possa essere uguale per tutti, ma che bisogni rielaborare un minimo. Ad esempio:
1. $int xcosxsenx dx = 1/2 int xsen(2x) dx$
Sostituzione: $2x=y$, $2xdx=dy$
$1/8 int yseny dy$
Questo integrale penso che lo avete visto a lezione.
2. Sostituzione: $x^2 =y$, $2xdx=dy$
$int x^5 sen(x^2) dx = 1/2 int y^2 seny dy$
Anche questo si fa per parti, iterando due volte.
3. $int x sen^3 x cos^2 x dx = int x sen^3 x dx - int x sen^5 x$, avendo usato $cos^2 x = 1-sen^2 x$ e spezzato. Entrambi gli integrali si calcolano per parti iterando più volte.
Può capitare che convenga riutilizzare la relazione $cos^2 x = 1-sen^2 x$ nei passaggi intermedi.

Per controllare i risultati, se non li hai, puoi usare il link seguente:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

Nel secondo quando ricavi $x=_-^+sqrt(y)$ come decidi se prendere quello positivo o il negativo?

[robbstark1]

Nel secondo quando ricavi $ x=+-sqrty $ come decidi se prendere quello positivo o il negativo?

Non ti serve ricavare $x$ così, ma sapendo:
$x^2 =y$ e $2xdx=dy$
puoi vederlo come:
$int x^4 sen(x^2) x dx = int y^2 sen y dy/2$
che risistemato, è come l'ho scritto prima.