Integrali

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20 set 2008, 12:02

Salve, ho risolto il seguente integrale ma non ho la soluzione,
quindi volevo sapere se l'ho svolto correttamente.

$ \int \frac{10 cos x + 4}{2 cos x - sin x + 2} dt $

Ho effettuato la sostituzione $ t = tan \frac{x}{2} $, da cui deriva $ dx = \frac{2}{1+t^2} dt $, $ cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, $ sin x = \frac{2t}{1 + t^2} $

Di seguito riporto il mio svolgimento:

$ \int \frac{ 10 \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 4 }{ 2 \frac{1-t^2}{1+t^2} - \frac{2t}{1+t^2} + 2 } \frac{2}{1 + t^2} dt$

$ \int \frac{10 - 10t^2 + 4 + 4t^2}{1+t^2} \frac{1+t^2}{2-2t^2-2t+2+2t^2} \frac{2}{1+t^2} dt $

$ 4 \int \frac{7-3t^2}{(4-2t)(1+t^2)} dt $

A questo punto ho diviso la frazione

$ \frac{7-3t^2}{(4-2t)(1+t^2)} = \frac{A}{4-2t} + \frac{Bt+C}{t^2+1} $

$ 4 \int \frac{-1}{4-2t} dt + 4 \int \frac{t+2}{t^2+1} dt $

$ 2 \int \frac{1}{t-2} dt + 2 \int \frac{2t}{t^2+1} dt + 8 \int \frac{1}{t^2+1} dt $

A questo punto sono tutti integrali immediati

$ 2 ln | t-2 | + 2 ln (t^2+1) + 8 arctan t + C $

Riportandoci alla variabile iniziale $ x $

$ 2 ln | tan \frac{x}{2} - 2 | + 2 ln ( tan^2 \frac{x}{2} + 1) +4x + C $

Grazie!

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