Integrali
Calcolare il valore delle somme integrali,inferiori $s_n$ e superiori $S_n$,relativi alla funzione $f(x)=x+1$ nell'intervallo $[1;2]$ e il loro limite per $n->+infty$. Dedurre da ciò il valore di $int_1^2(x+1)dx$
Considerare la funzione $f(x)=e^x$ nell'intervallo $[0;1]$ e dedurre il valore di $int_0^1e^xdx$ calcolando il limite per$n->+infty$ delle somme integrali inferiori e superiori.
Considerare la funzione $f(x)=e^x$ nell'intervallo $[0;1]$ e dedurre il valore di $int_0^1e^xdx$ calcolando il limite per$n->+infty$ delle somme integrali inferiori e superiori.
Risposte
Ciao,
come saprai $s_(n)$ è l'area del rettangoloide compreso e $S_(n)$ è l'area di quello comprendente il rettangoloide formato dall curva integranda $f(x) = x+1$
Per calcolare $s_(n)$ e $S_(n)$ devi dividere l'intervallo d'integrazione [1, 2] in n parti $[1, 2] = uu_(0, n) I_(k) = uu_(0, n) [1+k1/n, 1+(k+1)1/n]$ e quindi calcolare l'area di ogni rettangolino base $R_(k) $ del tuo rettangoloide. Quindi si ha che ogni rettangolino $R_(k) $ avrà base $[x_(k), x_(k+1)] = [1+k1/n, 1+(k+1)1/n] = 1/n$
La differenza tra i due rettangolodi (quello cmpreso e quello comprendente) è che uno lo calcoli tenendo come altezze dei vari retangoli base l'estremo sinistro di ogni intervallo e l'altr ol'estremo destro. Perciò avrai due sommatorie la cui differenza sarà l'intervallo di sommatoria (0, n-1) e (1, n).
perciò:
$s_(n) = sum_(0, n-1) (1/n*f(1+k/n)) = sum_(0, n-1) (1/n(1+1+k/n)) = sum_(0, n-1) (1/n(2+k/n)) = sum_(0, n-1) (2/n+k/n^2)) = 2+1/n^2sum_(0, n-1) k = 2+ 1/n^2((n-1)*n)/2 = 2+(n-1)/(2n) = (5n-1)/(2n)$
$S_(n) = sum_(1, n) (1/n*f(1+k/n)) = sum_(1, n) (1/n(1+1+k/n)) = sum_(1, n) (1/n(2+k/n)) = sum_(1, n) (2/n+k/n^2)) = 2+1/n^2sum_(1, n) k = 2+ 1/n^2(n*(n+1))/2 = 2+(n+1)/(2n) = (5n+1)/(2n)$
Se ora fai il $lim_(n->+infty)S_(n) = lim_(n->+infty)s_(n) = 5/2 = int$
ciao, Luigi
come saprai $s_(n)$ è l'area del rettangoloide compreso e $S_(n)$ è l'area di quello comprendente il rettangoloide formato dall curva integranda $f(x) = x+1$
Per calcolare $s_(n)$ e $S_(n)$ devi dividere l'intervallo d'integrazione [1, 2] in n parti $[1, 2] = uu_(0, n) I_(k) = uu_(0, n) [1+k1/n, 1+(k+1)1/n]$ e quindi calcolare l'area di ogni rettangolino base $R_(k) $ del tuo rettangoloide. Quindi si ha che ogni rettangolino $R_(k) $ avrà base $[x_(k), x_(k+1)] = [1+k1/n, 1+(k+1)1/n] = 1/n$
La differenza tra i due rettangolodi (quello cmpreso e quello comprendente) è che uno lo calcoli tenendo come altezze dei vari retangoli base l'estremo sinistro di ogni intervallo e l'altr ol'estremo destro. Perciò avrai due sommatorie la cui differenza sarà l'intervallo di sommatoria (0, n-1) e (1, n).
perciò:
$s_(n) = sum_(0, n-1) (1/n*f(1+k/n)) = sum_(0, n-1) (1/n(1+1+k/n)) = sum_(0, n-1) (1/n(2+k/n)) = sum_(0, n-1) (2/n+k/n^2)) = 2+1/n^2sum_(0, n-1) k = 2+ 1/n^2((n-1)*n)/2 = 2+(n-1)/(2n) = (5n-1)/(2n)$
$S_(n) = sum_(1, n) (1/n*f(1+k/n)) = sum_(1, n) (1/n(1+1+k/n)) = sum_(1, n) (1/n(2+k/n)) = sum_(1, n) (2/n+k/n^2)) = 2+1/n^2sum_(1, n) k = 2+ 1/n^2(n*(n+1))/2 = 2+(n+1)/(2n) = (5n+1)/(2n)$
Se ora fai il $lim_(n->+infty)S_(n) = lim_(n->+infty)s_(n) = 5/2 = int$
ciao, Luigi
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