Integrali
Ho il seguente integrale: $int(sinxcosx)/(1+sinx)dx$
l'ho risolto con la posizione $t=tg(x/2)$
In un messaggio passato leggevo però che per applicare il metodo di sostituzione bisogna utilizzare una funzione invertibile nel suo dominio. Nell'integrale precedente avendo utilizzato la funzione tangente,non essendo invertibile nel suo dominio ho commesso un errore? Per lo stesso motivo più in generale nella risoluzione di un integrale indefinito con il metodo di sostituzione non possono mai essere quindi utilizzate le funzioni trigonometriche seno,coseno,tangente e cotangente nella sostituzione?
l'ho risolto con la posizione $t=tg(x/2)$
In un messaggio passato leggevo però che per applicare il metodo di sostituzione bisogna utilizzare una funzione invertibile nel suo dominio. Nell'integrale precedente avendo utilizzato la funzione tangente,non essendo invertibile nel suo dominio ho commesso un errore? Per lo stesso motivo più in generale nella risoluzione di un integrale indefinito con il metodo di sostituzione non possono mai essere quindi utilizzate le funzioni trigonometriche seno,coseno,tangente e cotangente nella sostituzione?
Risposte
In effetti la sostituzione da te effettuata va usata con cautela, proprio perchè in una direzione il Teorema del cambiamento di variabile richiede l'iniettività del cambiamento stesso.
La cosa poco elegante che si può fare (se uno non vuole applicare il Teorema per come è scritto, verificando dunque tutte le ipotesi del caso) è operare il cambiamento fregandosene dell'invertibilità in tutto il dominio, e poi controllare se la funzione ottenuta è in effetti una primitiva dappertutto.
La cosa poco elegante che si può fare (se uno non vuole applicare il Teorema per come è scritto, verificando dunque tutte le ipotesi del caso) è operare il cambiamento fregandosene dell'invertibilità in tutto il dominio, e poi controllare se la funzione ottenuta è in effetti una primitiva dappertutto.
Grazie per la risposta. Un'ultima domanda:
Se l'integrale è definito,$int_a^bf(x)dx$, e supponiamo che la funzione $tg(x/2)$ è invertibile in $[a,b]$,in tal caso il metodo di sostituzione sarebbe lecito utilizzando nella sostituzione $tg(x/2)$ ?
Se questo è vero,nel caso dell'integrale indefinito anche adoperando il metodo di sostituzione con una funzione non invertibile comunque il risultato che ottengo è una primitiva della funzione integranda negli intervalli in cui è invertibile la funzione adoperata nella sostituzione.Giusto?
Se l'integrale è definito,$int_a^bf(x)dx$, e supponiamo che la funzione $tg(x/2)$ è invertibile in $[a,b]$,in tal caso il metodo di sostituzione sarebbe lecito utilizzando nella sostituzione $tg(x/2)$ ?
Se questo è vero,nel caso dell'integrale indefinito anche adoperando il metodo di sostituzione con una funzione non invertibile comunque il risultato che ottengo è una primitiva della funzione integranda negli intervalli in cui è invertibile la funzione adoperata nella sostituzione.Giusto?
Sì, giusto per l'integrale definito. Per quello indefinito vale la stessa cosa; ma qui in realtà non serve perchè la direzione in cui usi la sostituzione è quella in cui non ti serve l'invertibilità; infatti per trovare i nuovi estremi basta che metti $a$ e $b$ nell'espressione di $t$.
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