Integrali

[Sk_Anonymous]

Si calcolino:

i) $int_0^1(senx)/xdx$
iv) $int_0^(1/2)e^(-x^(2))dx$


Risolvere:

ii) $int_sqrt(x/(x^3-1))dx$
iii) $intx^5/sqrt(x^3-1)dx$

[Luca.Lussardi]

Non credo proprio che siano da calcolare; di sicuro il iv) non è calcolabile esattamente.

Probabilmente ciò che si chiede è lo studio della convergenza.

[Sk_Anonymous]

Neanche il primo se è per questo.....

Si proceda nel modo che più si ritiene opportuno e poi io dirò se il vostro metodo di risoluzione è quello che mi ero proposto io.

[_Tipper]

Sucsate la mia ignoranza, ma che senso ha calcolare la convergenza del iv)? Voglio dire, l'integranda è continua, quindi limitata, nell'intervallo di integrazione, quindi è chiaro che quell'integrale converga... Forse non ho capito bene cosa intendi con studio della convergenza...

[Luca.Lussardi]

i) L'integrale risulta improprio in $x=0$; osservando che $(sen x)/x \to 1$ per $x \to 0$, si ha che $\int_0^1 (sen x)/x dx$ converge .

iv) Integrale di una funzione continua su un chiuso e limitato, dunque esiste l'integrale, ed è finito.

Per ii) e iii) non hai specificato gli estremi.

[Sk_Anonymous]

Si,ok.Ma voglio vedere approssimativamente a meno di un errore arbitrariamente scelto quanto vale il i) e il iv).

per il ii) e il iii) sono due integrali indefiniti che ho messo lì da risolvere...ora edito.

[Luca.Lussardi]

Ah, no, allora io non sono la persona giusta; non sono competente circa un'approssimazione numerica.

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Si calcolino:

i) $int_0^1(senx)/xdx$
iv) $int_0^(1/2)e^(-x^(2))dx$


Risolvere:

ii) $int_sqrt(x/(x^3-1))dx$
iii) $intx^5/sqrt(x^3-1)dx$

$intx^5/sqrt(x^3-1)dx=intx^3/(sqrt(x^3-1))*x^2dx$
$sqrt(x^3-1)=t->x^3=t^2+1->x^2dx=2/3*tdt$ per cui
$intx^3/(sqrt(x^3-1))*x^2dx=int2/3*(t^2+1)/t*tdt=2/3*int(t^2+1)dt=2/3(t^3/3+t)=2/3*(1/3*(x^3-1)^(3/2)+(x^3-1)^(1/2))=2/9*sqrt(x^3-1)*(2+x^3)+K$

[Archimede87]

$int_sqrt(x/(x^3-1))dx = int_( sqrt(x)/sqrt(x^3-1))dx$
posto $sqrt(x) = t$ => $x=t^2$ => $dx= 2tdt$.

Ergo

$int_sqrt(x/(x^3-1))dx = int t/(t^3-1) 2t dt = int (2t^2)/(t^3-1) dt = 2/3 int (3t^2)/(t^3-1)dt = 2/3 log |t^3 - 1| + c = 2/3 log|x sqrt(x) - 1| +c$

[_nicola de rosa]

"Archimede87":$int_sqrt(x/(x^3-1))dx = int_( sqrt(x)/sqrt(x^3-1))dx$
posto $sqrt(x) = t$ => $x=t^2$ => $dx= 2tdt$.

Ergo

$int_sqrt(x/(x^3-1))dx = int t/(t^3-1) 2t dt = int (2t^2)/(t^3-1) dt = 2/3 int (3t^2)/(t^3-1)dt = 2/3 log |t^3 - 1| + c = 2/3 log|x sqrt(x) - 1| +c$

ma con la tua sostituzione l'integrale diventa
$intsqrt(x/(x^3-1))dx=int2t*sqrt((t^2)/(t^6-1))dt$
da dove esce il tuo risultato?

io lo farei in altro modo, allora:
$sqrt(x/(x^3-1))=sqrtx/(sqrt(x^3-1))=sqrtx/(x^2)*(x^2/sqrt(x^3-1))=1/(sqrt(x^3))*(x^2/sqrt(x^3-1))$ per cui
$intsqrt(x/(x^3-1))dx=int 1/(sqrt(x^3))*(x^2/sqrt(x^3-1))dx$
A questo punto faccio la sostituzione $sqrt(x^3-1)=t->x^3=t^2+1->x^2dx=2/3tdt$ per cui
$intsqrt(x/(x^3-1))dx=int 1/(sqrt(x^3))*(x^2/sqrt(x^3-1))dx=2/3*int1/(sqrt(t^2+1))dt=2/3*Arcsinh(t)=2/3*Arcsinh(sqrt(x^3-1))+K=2/3*ln(x^(3/2)+sqrt(x^3-1))+K$
ricordando che $Arcsinh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1))$

[Archimede87]

Sorry

[Sk_Anonymous]

Nica ha ragione.
Ecco un altro modo per risolverlo:

si può scrivere $intx^(1/2)(x^3-1)^(-1/2)dx$ allora si vede che siamo in presenza di un differenziale binomio,ossia di un differenziale della forma:$x^m(a+bx^n)^pdx$;

essendo $m=1/2,n=3,p=-1/2,(m+1)/n+p=0$,basta porre $(x^3-1)/x^3=t^2 => x=(1-t^2)^(-1/3),dx=(2t)/3(1-t^2)^(-4/3),x^3-1=t^2/(1-t^2)$;quindi:

$I=2/3int1/(1-t^2)dt=1/3log(1+t)/(1-t)+c=1/3log(sqrtx^3+sqrt(x^3-1))/(sqrtx^3-sqrt(x^3-1))+c=1/3log(sqrtx^3+sqrt(x^3-1))^2+c=2/3log(sqrtx^3+sqrt(x^3-1))+c.

[Archimede87]

Una domanda credo stupida:
$sqrt (x^2-1) = - sqrt (1-x^2)$ ?

[_Tipper]

Solo se $x= \pm 1$