INTEGRALI

[manu110]

Come si risolve questo integrale??

int x/(x^2+2x-3)dx

Grazie mille

[crsclaudio]

Il denominatore è un polinomio di 2° grado e quindi può essere fattorizzato come:
x^2+2x-3=(x-1)*(x+3)
e quindi la frazione si può sconporre nel modo che segue:
x/(x^2+2x-3)=A/(x-1)+B/(x+3)
facendo il m.c.m. del secondo membro, risolvendo e imponendo l'ugualianza tra i numeratori si ottiene:
A=1/4
B=3/4
quindi
x/(x^2+2x-3)=(1/4)/(x-1)+(3/4)/(x+3)
da cui si può risolvere facilmente l'integrale:
int[x/(x^2+2x-3)]dx=(1/4)*ln(x-1)+(3/4)*ln(x+3)+C
che può essere scritto anche:
int[x/(x^2+2x-3)]dx=ln[(x-1)*(x+3)^3]^(1/4)+C

Ciao, by Claudio

[manu110]

Scusa ma ho sbagliato a scrivere. Il denominatore è x^2+2x+3, appunto sono in crisi!

[crsclaudio]

Considerando il denominatore come polinomio di secondo grado non è possibile fattorizzarlo, perchè Delta<0, quindi è necessario scriverlo come somma di quadrati e pensare alla formula di integrazione dell'arcotangente.
x^2+2x+3=2+(x+1)^2
quindi:
x/x^2+2x+3=(1/2)*(2x+2)/(x^2+2x+3)-1/(x^2+2x+3)

La prima parte è un integrale immediato e vale:
(1/2)*ln(x^2+2x+3)

La seconda parte si può scrivere:
-1/(x^2+2x+3)=-1/[2+(x+1)^2]=(-1/radq2)*(1/radq2)/[1+((x+1)/radq2)^2]
il cui integrale è:
(-1/radq2)*arctan[(x+1)/radq2]

Componendo le due parti e aggiungiendo la costante di integrazione si ottengono le due parti.

Ciao, by Claudio

[Sk_Anonymous]

Poniamo :
D(x+2x+3)=t ( D=derivata)
Quindi: 2x+2=t--->x=(t-2)/2, dx=dt/2
e sostituendo nell'integrale I, avremo:
I=[(t-2)/2]/[(t-2)/4+t-2+3]*dt/2
Facendo qualche calcolo si ottiene:
I=(t-2)/(t+8)*dt od anche:
I=t/(t+8)*dt-2*1/(t+8)*dt
E per note regole:
I=1/2*ln(t+8)-1/2*arctg[t/(22)+C
E risostituendo la t con (2x+2):
I=1/2*ln(4x+8x+12)-1/2*arctg[(x+1)/2]+C
od anche:
I=1/2*ln(x+2x+3)-1/2*arctg[(x+1)/2]+C+ln(2)
ed inglobando C+ln(2) in un'unica costante C',alla fine si ha:
I=1/2*ln(x+2x+3)-1/2*arctg[(x+1)/2]+C'
karl.



Modificato da - karl il 26/04/2004 17:47:20