Integrali
Salve, ho notato che la risoluzione pratica di alcuni integrali è un po' il mio punto debole. Qualcuno sa darmi qualche consiglio?
Faccio fatica con integrali un po' particolari e tendo a scoraggiarmi a risolverli. Esempio:
ho uno tipo $int-e^(t^2)dt$. Io ho fatto dapprima la sostituzione, ottenendo: $int-e^u/(2sqrtu)du$ e poi ho pensato di procedere per parti, ottenendo: $-e^usqrtu+inte^usqrtudu$ Però poi non saprei come procedere... di nuovo per parti come fosse un sistema di scatole cinesi?
Faccio fatica con integrali un po' particolari e tendo a scoraggiarmi a risolverli. Esempio:
ho uno tipo $int-e^(t^2)dt$. Io ho fatto dapprima la sostituzione, ottenendo: $int-e^u/(2sqrtu)du$ e poi ho pensato di procedere per parti, ottenendo: $-e^usqrtu+inte^usqrtudu$ Però poi non saprei come procedere... di nuovo per parti come fosse un sistema di scatole cinesi?
Risposte
Ma com'è possibile? Mi è venuto fuori parametrizzando il segmento che unisce gli estremi in cui è richiesto di calcolare un'integrale curvilineo di seconda specie; di conseguenza ho espresso anche il gradiente ed il suo integrale in funzione del parametro. Mi ha fatto lo scherzone nel tema d'esame? Ho da calcolare il potenziale di questo campo vettoriale:
$F=(ye^(z^2)+ze^(y^2)+2xyze^(x^2))e_1+(xe^(z^2)+2xyze^(y^2)+ze^(x^2))e_2+(2xyze^(z^2)+xe^(y^2)+ye^(x^2))e_3$ lungo il segmento che unisce $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$. Il campo ammette il potenziale e parametrizzando viene fuori $e^(t^2)$
$F=(ye^(z^2)+ze^(y^2)+2xyze^(x^2))e_1+(xe^(z^2)+2xyze^(y^2)+ze^(x^2))e_2+(2xyze^(z^2)+xe^(y^2)+ye^(x^2))e_3$ lungo il segmento che unisce $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$. Il campo ammette il potenziale e parametrizzando viene fuori $e^(t^2)$
$erf$ che significa? C'è nella soluzione di quell'integrale
Prova in questo modo:
\(-\int e^{-t^{2}}dt=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\cdot erf\left ( t \right )\)
\(erf\left ( t \right )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\)
sostituisco e semplifico:
\(-\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\)
adesso a secondo del valore di \(t\) hai come risultato un numero oppure facendo variare \(t\) continuamente , avrai una funzione nella variabile \(t\).
esempio:
\(-\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)
oppure facendo un grafico della funzione:
Note: La \(erf\) ( Error function) ha anche una espansione in serie del tipo:
\(erf\left ( x \right )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left ( x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+...\right )\)
\(-\int e^{-t^{2}}dt=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\cdot erf\left ( t \right )\)
\(erf\left ( t \right )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\)
sostituisco e semplifico:
\(-\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\)
adesso a secondo del valore di \(t\) hai come risultato un numero oppure facendo variare \(t\) continuamente , avrai una funzione nella variabile \(t\).
esempio:
\(-\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)
oppure facendo un grafico della funzione:
Note: La \(erf\) ( Error function) ha anche una espansione in serie del tipo:
\(erf\left ( x \right )=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left ( x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}-\frac{x^{7}}{42}+...\right )\)
Ti ringrazio, ora mi guardo bene quello che hai scritto. Perché error function?
"umbe":
Ti ringrazio, ora mi guardo bene quello che hai scritto. Perché error function?
Bhò, non l'ho battezzata io
Guarda su internet la sua storia, comunque riguardando il tuo integrale misà che ho aggiunto un segno all'esponente del mio che nel tuo non era presente, comunque poco male, aggiungi una \(j\) o \(i\) ( il tutto diventa immaginario) alla mia soluzione
Sì no, ma perché si chiama error? C'è qualcosa di sbagliato?
"umbe":
Sì no, ma perché si chiama error? C'è qualcosa di sbagliato?
Ti ho già risposto, non lo so perchè si chiama in questo modo, prova a fare una ricerca
su internet, oppure chiedi ad un matematico
Io mi diverto solamente con i numeri, non ho mai frequentato nessuna scuola non ti saprei rispondere, è una ricerca che puoi fare benissimo da solo
"umbe":
Sì no, ma perché si chiama error?
Come forse (non) saprai, i valori delle misure si distribuiscono usualmente in maniera gaussiana (o normale), i.e. con una densità di probabilità data dalla funzione \(\gamma :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\gamma (x;\mu, \sigma) := \frac{1}{\sigma\ \sqrt{2\pi}}\ e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
(in cui i parametri $\mu in RR$ e $sigma >0$ rappresentano la media e la deviazione standard della distribuzione). Ciò vuol dire che, scelti due valori $a<=b in RR$, la probabilità che la misura in esame prenda valori nell'intervallo $[a,b]$ è data dall'integrale:
\[
\mathbb{P}\Big( a\leq \text{misura} \leq b \Big) = \int_a^b \gamma (x; \mu, \sigma)\ \text{d} x\; .
\]
Tra le misure che si distribuiscono in modo gaussiano ci sono, come forse (non) sai, le misure degli errori casuali che si compiono nell'analisi di grandezze fisiche (lunghezze, tempi, velocità, masse, volumi, etc...).
Le misure di errore, usualmente, hanno media nulla (casualmente, si sbaglia tanto in eccesso tanto in difetto, ed il dato medio è nullo); dunque la probabilità di trovare un errore compreso tra due valori simmetrici rispetto alla media, i.e. tra $-epsilon$ ed $epsilon$ (con $epsilon >0$), è data da:
\[
\begin{split}
\mathbb{P}\Big( -\varepsilon \leq \text{errore} \leq \varepsilon \Big) &= \int_{-\varepsilon }^\varepsilon \gamma (x; 0, \sigma)\ \text{d} x \\
&= \int_{-\varepsilon }^\varepsilon \frac{1}{\sigma\ \sqrt{2\pi}}\ e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\ \text{d} x\\
&= \frac{2}{\sigma\ \sqrt{2\pi}}\ \int_0^\varepsilon e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}\ \text{d} x\\
&\stackrel{t=x/(\sqrt{2}\sigma )}{=} \frac{2}{\sigma\ \sqrt{2\pi}}\ \sigma\ \sqrt{2}\ \int_0^{\varepsilon/(\sigma \sqrt{2})} e^{-t^2}\ \text{d} t \\
&= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^{\varepsilon/(\sigma \sqrt{2})} e^{-t^2}\ \text{d} t\; ;
\end{split}
\]
posto, per comodità:
\[
\operatorname{erf} (x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t\; ,
\]
abbiamo trovato che la probabilità di ottenere un errore di misura compreso tra $-epsilon$ ed $epsilon$ si esprime mediante la formula:
\[
\mathbb{P}\Big( -\varepsilon \leq \text{errore} \leq \varepsilon \Big) = \operatorname{erf}\left( \frac{\varepsilon}{\sigma \sqrt{2}}\right)\; .
\]
Per questo motivo la funzione \(\operatorname{erf}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\operatorname{erf} (x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t
\]
si chiama funzione degli errori (error function, in English).
"umbe":
C'è qualcosa di sbagliato?
"umbe":
Ma com'è possibile? Mi è venuto fuori parametrizzando un'integrale curvilineo di seconda specie. Mi ha fatto lo scherzone nel tema d'esame? Ho da calcolare il potenziale di questo campo vettoriale:
$F=(ye^(z^2)+ze^(y^2)+2xyze^(x^2))e_1+(xe^(z^2)+2xyze^(y^2)+ze^(x^2))e_2+(2xyze^(z^2)+xe^(y^2)+ye^(x^2))e_3$ lungo il segmento che unisce $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$. Il campo ammette il potenziale e parametrizzando viene fuori $e^(t^2)$
"Scherzone"???...
Ma studiati la teoria.
Se conosci un potenziale, fare i conti con la definizione di integrale curvilineo non ti serve.
L'ho studiata la teoria e questo argomento lo ho capito bene. Solo mi salta fuori quel $e^(t^2)$ che non so come integrare. Ho letto ora che ho scritto che ho parametrizzato l'integrale curvilineo... mi sono sbagliato: volevo scrivere "parametrizzando il segmento che unisce i punti estremi in cui è richiesto il calcolo dell'integrale, cioè del potenziale.".
Ho capito benissimo cosa stavi dicendo, nonostante le imprecisioni di linguaggio (cui sono abituato, perché queste cose qui le insegno).
Il problema è che tu, come al solito, pretendi di aver studiato la teoria mentre i metodi che usi mostrano che ti sei soffermato solo sulle definizioni e hai tralasciato oppure non hai compreso il significato dei teoremi.
Ripeto: studiati la teoria.
C'è un teorema fatto appositamente per evitare il calcolo che non puoi riuscire a svolgere meccanicamente.
Se non lo trovi sul testo che stai usando, gettalo nell'immondizia e prendine uno decente.
Il problema è che tu, come al solito, pretendi di aver studiato la teoria mentre i metodi che usi mostrano che ti sei soffermato solo sulle definizioni e hai tralasciato oppure non hai compreso il significato dei teoremi.
Ripeto: studiati la teoria.
C'è un teorema fatto appositamente per evitare il calcolo che non puoi riuscire a svolgere meccanicamente.
Se non lo trovi sul testo che stai usando, gettalo nell'immondizia e prendine uno decente.
"gugo82":
Ho capito benissimo cosa stavi dicendo, nonostante le imprecisioni di linguaggio (cui sono abituato, perché queste cose qui le insegno).
Il problema è che tu, come al solito, pretendi di aver studiato la teoria mentre i metodi che usi mostrano che ti sei soffermato solo sulle definizioni e hai tralasciato oppure non hai compreso il significato dei teoremi.
Ripeto: studiati la teoria.
C'è un teorema fatto appositamente per evitare il calcolo che non puoi riuscire a svolgere meccanicamente.
Se non lo trovi sul testo che stai usando, gettalo nell'immondizia e prendine uno decente.
Non so a che teorema ti riferisci, ce ne sono davvero pochi in questo programma. Sì, è vero: spesso tendo a soffermarmi troppo sulla teoria per capirla bene, ma poi faccio pochi esercizi. Avevo fatto così anche per la parte di elettrostatica di fisica II e infatti molti di quegli esercizi faccio fatica a farli; per il magnetismo invece ho avuto tutt'altro approccio: un'infarinatura veloce di teoria e poi capire le tipologie di esercizi; molto meglio infatti con magnetismo.
Se una forma differenziale lineare $omega$ ha una primitiva $U$, allora l'integrale curvilineo esteso ad un arco orientato di estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ è uguale a...
Comunque, che si calcoli a mano l'integrale o si trovi una primitiva, le cose non cambiano, per trovare la primitiva bisogna integrare comunque la forma differenziale, e quindi ritorna la funzione degli errori...il problema qui sta nel fatto che l'OP non sa cosa sia la funzione degli errori né tantomeno sa che esistono funzioni non integrabili esplicitamente né tantomeno che una funzione può anche essere espressa in forma integrale e tantissime altre cose...
"Vulplasir":
Comunque, che si calcoli a mano l'integrale o si trovi una primitiva, le cose non cambiano, per trovare la primitiva bisogna integrare comunque la forma differenziale, e quindi ritorna la funzione degli errori...il problema qui sta nel fatto che l'OP non sa cosa sia la funzione degli errori né tantomeno sa che esistono funzioni non integrabili esplicitamente né tantomeno che una funzione può anche essere espressa in forma integrale e tantissime altre cose...
No, cucciolo, non è così.
La primitiva si calcola a mano in maniera semplice.
Piuttosto, il problema di umbe sembrerebbe essere che non riesce a stabilire alcun legame tra la teoria che studia e gli esercizi che svolge.
"gugo82":
Se una forma differenziale lineare $omega$ ha una primitiva $U$, allora l'integrale curvilineo esteso ad un arco orientato di estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ è uguale a...
Ah il differenziale esatto! Quindi dovevo subito cercare il differenziale esatto senza incasinarmi con la parametrizzazione?
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