Integrali
$ int_(0)^(pi/2) 1/(cosx+2) dx $ come lo risolvo? con la sostituzione?
$ int_()^() (x^3-x+2)/(x+1)^3 dx $ sviluppo il cubo e poi divido?
$ int_()^() (x^3-x+2)/(x+1)^3 dx $ sviluppo il cubo e poi divido?
Risposte
1) "La" sostituzione? Quale?
2) Sembra una via sensata, ma provarci a farlo prima di chiedere consiglio? Se hai già provato scrivi uno svolgimento, almeno vediamo dove ti blocchi.
2) Sembra una via sensata, ma provarci a farlo prima di chiedere consiglio? Se hai già provato scrivi uno svolgimento, almeno vediamo dove ti blocchi.
$cosx+2=t$ pero' dopo non so come continuare.... altrimenti si va di parametriche?
viene una cosa del genere $2 int_(0)^(pi/2) 1/(t^2+3) dt$ che sembrerebbe un arcotangente...
praticamente con la divisione viene una cosa cosi'
$ int_()^() 1 dx + int_()^() (-3x^2-4x+1)/(x^3+3x^2+3x+1) dx $ al numeratore farebbe comodo avere la derivata del denominatore che è $3x^2+6x+3$ forse si puo' fare qualche trucco algebrico
viene una cosa del genere $2 int_(0)^(pi/2) 1/(t^2+3) dt$ che sembrerebbe un arcotangente...
praticamente con la divisione viene una cosa cosi'
$ int_()^() 1 dx + int_()^() (-3x^2-4x+1)/(x^3+3x^2+3x+1) dx $ al numeratore farebbe comodo avere la derivata del denominatore che è $3x^2+6x+3$ forse si puo' fare qualche trucco algebrico
Credo che siano decisamente più indicate le parametriche per il primo!
Per il secondo non ho controllato i conti, ma l'idea è corretta: quindi se i conti sono giusti dovrebbe funzionare.
Per la derivata del denominatore vanno bene i trucchi algebrici, è un po' lungo ma con la giusta attenzione viene!
Poi però temo che dovrai comunque fare una scomposizione in fratti semplici
Per il secondo non ho controllato i conti, ma l'idea è corretta: quindi se i conti sono giusti dovrebbe funzionare.
Per la derivata del denominatore vanno bene i trucchi algebrici, è un po' lungo ma con la giusta attenzione viene!
Poi però temo che dovrai comunque fare una scomposizione in fratti semplici
ok qualcosina nel frattempo ho fatto....domandina con le parametriche cosa succede agli estremi di integrazione?
per la seconda al numeratore posso aggiungere a mio piacimento ad esempio $-2x$?
per la seconda al numeratore posso aggiungere a mio piacimento ad esempio $-2x$?
Succede ciò che succede con ogni sostituzione: variano in base alla sostituzione effettuata.
Se tutte le ipotesi del teorema di cambio di variabile per integrali sono verificate, basterà sostituire gli estremi di integrazione della $x$ nella sostituzione per ottenere gli estremi di integrazione nella variabile $t$.
Puoi aggiungere $0$, quindi se aggiungi $-2x$ devi poi anche aggiungere $2x$.
Se tutte le ipotesi del teorema di cambio di variabile per integrali sono verificate, basterà sostituire gli estremi di integrazione della $x$ nella sostituzione per ottenere gli estremi di integrazione nella variabile $t$.
Puoi aggiungere $0$, quindi se aggiungi $-2x$ devi poi anche aggiungere $2x$.
perfetto quindi per gli estremi di integrazione faccio cosi: per $0$ viene $x=tg 0/2$ e per $pi/2$ viene $x=tg pi/4$
Il ragionamento è esatto, ma ricorda che hai posto $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$; perciò avrai, per $x=0$, $t=\tan \left(\frac{0}{2}\right)=0$ mentre per $x=\frac{\pi}{2}$ avrai $t=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1$.
Voglio dire che hai scritto $x=\tan \left(\frac{0}{2}\right)$ in luogo di $t=\tan \left(\frac{0}{2}\right)$, per evidenziare che la variabile da sostituire è la $x$ che ti restituirà una $t$; ma probabilmente è stato solo un errore di trascrizione qui al computer
Voglio dire che hai scritto $x=\tan \left(\frac{0}{2}\right)$ in luogo di $t=\tan \left(\frac{0}{2}\right)$, per evidenziare che la variabile da sostituire è la $x$ che ti restituirà una $t$; ma probabilmente è stato solo un errore di trascrizione qui al computer
"mic85rm":
$ int_()^() (-3x^2-4x+1)/(x^3+3x^2+3x+1) dx $ al numeratore farebbe comodo avere la derivata del denominatore che è $3x^2+6x+3$ forse si puo' fare qualche trucco algebrico
Oppure si può fare qualcosa di veramente demenziale (
) per la funzione integranda lavorandoci un po' notando che $x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$...
$\frac{-3x^2-4x+1}{(x+1)^3}=\frac{-3x^2}{(x+1)^3}+\frac{-4x}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x+1)^3}=$
$=- \frac{3x^2-3+3}{(x+1)^3}-\frac{4x+4-4}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x+1)^3}=$
$= -\frac{3(x^2-1)}{(x+1)^3}-\frac{3}{(x+1)^3}-\frac{4(x+1)}{(x+1)^3}+\frac{4}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x+1)^3}=$
sommando tra loro i termini del tipo $\frac{"numero"}{(x+1)^3}$ e semplificando negli altri gli $(x+1)$ isolati con la potenza al denominatore quello che resta come integranda dà origine a tre integrali "fattibili"
$= -\frac{3(x-1)}{(x+1)^2}+\frac{2}{(x+1)^3}-\frac{4}{(x+1)^2}$
(ricordando che $\int [f(x)+g(x)]dx = \int f(x)dx+\int g(x)dx$)
Interessante...grazie
Ciao mic85rm,
Per il primo in effetti utilizzerei le formule parametriche, ma risolverei prima l'integrale indefinito:
$\int (dx)/(cos x + 2) $
Posto $t := tan(x/2) \implies dt = 1/(2 cos^2 (x/2)) dx \implies dx = 2 cos^2(x/2) dt $ ed essendo $ cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $ e $ cos^2(x/2) = \frac{1 + cos x}{2} $, si ha:
$ \int (dx)/(cos x + 2) = \int 1/(\frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 2) 2 \frac{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{2} dt = \int (1 + t^2)/(t^2 + 3) \frac{2}{1 + t^2} dt = 2 \int (dt)/(t^2 + (\sqrt{3})^2) = $
$ = 2/(\sqrt{3}) arctan(t/(\sqrt{3})) + c = 2/(\sqrt{3}) arctan[\frac{tan(x/2)}{\sqrt{3}}] + c $
Dunque si ha:
$\int_0^{\pi/2} (dx)/(cos x + 2) = [2/(\sqrt{3}) arctan(\frac{tan(x/2)}{\sqrt{3}})]_0^{\pi/2} = 2/(\sqrt{3}) arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2/(\sqrt{3}) \cdot \pi/6 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} $
Per il primo in effetti utilizzerei le formule parametriche, ma risolverei prima l'integrale indefinito:
$\int (dx)/(cos x + 2) $
Posto $t := tan(x/2) \implies dt = 1/(2 cos^2 (x/2)) dx \implies dx = 2 cos^2(x/2) dt $ ed essendo $ cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $ e $ cos^2(x/2) = \frac{1 + cos x}{2} $, si ha:
$ \int (dx)/(cos x + 2) = \int 1/(\frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 2) 2 \frac{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{2} dt = \int (1 + t^2)/(t^2 + 3) \frac{2}{1 + t^2} dt = 2 \int (dt)/(t^2 + (\sqrt{3})^2) = $
$ = 2/(\sqrt{3}) arctan(t/(\sqrt{3})) + c = 2/(\sqrt{3}) arctan[\frac{tan(x/2)}{\sqrt{3}}] + c $
Dunque si ha:
$\int_0^{\pi/2} (dx)/(cos x + 2) = [2/(\sqrt{3}) arctan(\frac{tan(x/2)}{\sqrt{3}})]_0^{\pi/2} = 2/(\sqrt{3}) arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2/(\sqrt{3}) \cdot \pi/6 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} $
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