Integrali =0?

[romaluca1]

Ho questi 2 integrali:
Int(0 a +oo)di (sinx-sin2x)dx/x

e

Int(-oo a +oo)di (sinPix)dx/(x(1-x))

Ora secondo me questi integrali sono =a 0.
Vorrei però la vostra conferma.

Ps. Seguo il corso di analisi 3.

Grazie

[Piera4]

salvo errori, credo che il primo integrale faccia 0
tutti gli integrali che seguono vanno da 0 a +infinito
int (sen x – sen 2x)/x dx =
int sen x /x dx - int sen 2x/x dx = 0

infatti il primo integrale = Pi / 2 (questo risultato c’è sicuramente nel tuo libro)
nel secondo poniamo 2 x = t, da cui x = t / 2 , dx = dt / 2
int sen 2x/x dx = int sen t / t dt = Pi / 2

[romaluca1]

Il secondo nn dovrebbe essere =0 perchè la funzione è dispari?

[Piera4]

non mi sembra che la funzione di partenza sia dispari

sen(Pix)/(x(1-x))=sen(Pix)/x - sen(Pix)/(x-1)
ora la prima funzione è dispari
quindi int sen(Pix)/x = 0
nel secondo chiamo x-1=t, quindi x=t+1 , dx=dt
int sen(Pix)/(x-1)= int sen[Pi t + Pi]/t =
= - int sen(Pi t)/t = 0

salvo errori

[romaluca1]

quote:

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Originally posted by Piera

non mi sembra che la funzione di partenza sia dispari

sen(Pix)/(x(1-x))=sen(Pix)/x - sen(Pix)/(x-1)
ora la prima funzione è dispari
quindi int sen(Pix)/x = 0
nel secondo chiamo x-1=t, quindi x=t+1 , dx=dt
int sen(Pix)/(x-1)= int sen[Pi t + Pi]/t =
= - int sen(Pi t)/t = 0

salvo errori

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ma sei sicuro che sen(Pix)/x è dispari e non pari?
Se sarebbe stato: senx/x allora
senx è dispari, e x è dispari-> senx/x sarebbe stato pari.
ora io sapevo che sen(costante*x) è sempre dispari.

[Piera4]

scusa, mi sono confuso, infatti il rapporto di due funzioni dispari è una funzione pari
quindi il primo integrale viene Pi, il secondo -Pi
e complessivamente l'integrale vale Pi - (-Pi)=2Pi
adesso dovrebbe essere giusto

[romaluca1]

Scusa ma se è giusto quello che ho detto allora:
senPix è dispari
(x(1-x)) è pari.
=>dispari/pari=dispari...
Non è giusto questo ragionamento?

[Piera4]

f(x)=x(1-x)=-x^2 + x
f(-x)=-x^2-x
la funzione non è pari

[romaluca1]

Ok grazie

[romaluca1]

Un ultima cosa. Ho provato a risolverlo con i residui alla fine mi viene che:

Int(-oo a +oo)di e^(iPix)dx/(x(1-x))=i2Pi

ora dato che e^(ix)=cosx+isenx
=
Int(-oo a +oo)di (cosPix+isenPix)dx/(x(1-x))=i2Pi

Vorrei sapere come faccio a dire che
Int(-oo a +oo)di (cosPix)dx/(x(1-x))=0
Dato che il denominatore non è ne dispari ne pari.
Grazie

[Piera4]

indica con a il primo integrale e con b il secondo
se hai fatto bene i calcoli viene
a + i * b = 0 + i*2Pi
eguagliando la parte reale a primo membro (che è a) con la parte reale a secondo che è 0 viene a = 0 cioè
Pv Int(-oo a +oo)di (cosPix)dx/(x(1-x))=0
ho messo Pv perchè la funzione mi sembra integrabile solo nel senso del valore principale di cauchy

facendo lo stesso con la parte immaginaria viene b = 2Pi,cioè
Int(-oo a +oo)di (senPix)dx/(x(1-x))=2Pi
che è lo stesso risultato scritto in un precedente post

in generale quando applichi il teorema dei residui ti viene alla fine
int f(x) + i * int g(x) = numero1 + i*numero2
e questa uguaglianza essendo vera porta a dire che
int f(x)= numero1
int g(x)= numero2