Integrale.....Un problema....

[Francesco862]

Salve sono nuovo, devo cercare di capire come si risolvono gli integrali. ho provato a fare questi due e non rieco a cavarci le gambe:
?x^2 arctg x
e
?x cos x/2

potete darmi una mano? vi ringrazio in anticipo.

[_Tipper]

Sono entrambi integrali da svolgere per parti.
Consideriamo ad esempio il secondo: integriamo $cos(x/2)$ e deriviamo $x$.
Allora l'integrale viene:
$int(xcos(x/2)dx) = 2xsen(x/2) - int (2sen(x/2)dx)$
= $2xsen(x/2) - 2 * 2 * (-cos(x/2))$ = $2xsen(x/2) + 4cos(x/2) + c$
In generale la regola è se tu hai un integrale del tipo:
$int f'(x)g(x)dx$ questo è uguale a $f(x)g(x) - int f(x)g'(x)dx$
Per il primo integrale che hai proposto basta usare questo metodo due volte

[Francesco862]

ti ringrazio della risposta, ma non mi è ancora del tutto chiaro.dunque io uso l' integrazione per parti e quando integro il cos (x/2) mi viene il sen(x/2) giusto?
cioè la primitiva di cos (x/2) è sen(x/2)?

[_Tipper]

No, la primitiva di $cos(x/2)$ è $2sen(x/2)$

[Francesco862]

si, tutto chiaro finalmente ho capito!! sei un grande!! puoi dirmi anche come posso svolgere il primo? mi blocco quando devo fare la primitiva di arctg (x). non riesco proprio ad andare avanti. se poi integro x^2 e derivo arctg (x) mi si complica ancora di più. please help

[freddofede]

"Francesco86":ti ringrazio della risposta, ma non mi è ancora del tutto chiaro.dunque io uso l' integrazione per parti e quando integro il cos (x/2) mi viene il sen(x/2) giusto?
cioè la primitiva di cos (x/2) è sen(x/2)?

Ricordati sempre che la primitiva di f(x) è una funzione g(x) t.c. g'(x) = f(x) per ogni x nel dominio di f... quindi, quando calcoli un integrale indefinito, basta che tu faccia la derivata del risultato e controlli che sia la funzione integranda di partenza.

[Francesco862]

mi potresti scrivere lo svolgimento perchè è un po che ci provo ma non mi riesce mi perdo
grazie mille

[_Tipper]

Per rivolvere il primo integrale basta integrare $x^2$ e derivare $arctg(x)$, infatti dopo il primo passaggio otteniamo:
$x^3/3 arctg(x) - 1/3 int x^3/(1+x^2)dx$
ora $x^3/(1+x^2)$ si può scrivere come $x - x/(1+x^2)$ e la primitiva di quest'ultima funzione è banalmente $x^2/2 - 1/2 ln(1+x^2)$
Quindi, a meno di errori di calcolo, la soluzione dell'integrale è:
$x^3/3 arctg(x) - x^2/6 + 1/6 ln(1+x^2)$

[Francesco862]

capito!! praticamente facevo bene l' integrazione per parti ma poi non riuscivo a trovare una via di uscita per x3/(1+x2). come posso rendermi conto di queste cose, hai qualche consiglio? già che ci sono ti propongo una serie che non ho fatto bene all' ultimo appello:
(x^n)/(3n)!

dire quando converge al variare di x che appartiene ai reali.

[_Tipper]

Per quanto riguarda la serie lascio la parola a qualcun'altro (non sono proprio il mio forte...)
Per quanto riguarda gli integrare quando devi trovare la primitiva di una funzione razionale (cioè divisione di polinomi), assicurati sempre che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore.

[Francesco862]

ok grazie del consiglio. mi sei stato di grande aiuto. ciao alla prossima