Integrale:$int 1/((t^2+1)^2)dt$
ciao a tutti!!
mi dispiace di non essere riuscita a trovare un "oggetto" più appropriato per il topic, ma ammetto che al momento questo è il mio problema minore...
stavo risolvendo (o almeno ci stavo provando) il seguente integrale:
$int x/sqrt(-x^2+x+2)dx$
dopo aver effettuato la seguente sostituzione:
$sqrt(-x^2+x+2)=(x+1)t$
sono arrivata all'integrale in quest'altra forma:
$2 int (t^2-2)/((t^2+1)^2)dt$ (sperando che i vari passaggi siano giusti)
ed è qui che mi sono bloccata...
ho pensato di procedere così (per adesso trascuro il 2 davanti all'integrale):
$int (t^2-2)/((t^2+1)^2)dt = int ((t^2+1)/((t^2+1)^2)-3/(t^2+1)^2)dt = int 1/(t^2+1)dt - 3 int 1/((t^2+1)^2)dt$
e qui possiamo dire che il primo integrale
$int 1/(t^2+1)dt = arctan(t) + c$
...ma come faccio a risolvere il secondo?
con il principio di identità dei polinomi?? non mi sembra...
ho pensato a qualche ulteriore sostituzione, ma non riesco a intravederne qualcuna che potrebbe essermi utile...
quel $1/((t^2+1)^2)$ potrebbe anche essere visto come $(1/(t^2+1))^2$ ma nemmeno questo mi porta a niente...
per parti??
mah... sono disperata...
spero che qualcuno con più esperienza di me saprà darmi qualche suggerimento
mi dispiace di non essere riuscita a trovare un "oggetto" più appropriato per il topic, ma ammetto che al momento questo è il mio problema minore...
stavo risolvendo (o almeno ci stavo provando) il seguente integrale:
$int x/sqrt(-x^2+x+2)dx$
dopo aver effettuato la seguente sostituzione:
$sqrt(-x^2+x+2)=(x+1)t$
sono arrivata all'integrale in quest'altra forma:
$2 int (t^2-2)/((t^2+1)^2)dt$ (sperando che i vari passaggi siano giusti)
ed è qui che mi sono bloccata...
ho pensato di procedere così (per adesso trascuro il 2 davanti all'integrale):
$int (t^2-2)/((t^2+1)^2)dt = int ((t^2+1)/((t^2+1)^2)-3/(t^2+1)^2)dt = int 1/(t^2+1)dt - 3 int 1/((t^2+1)^2)dt$
e qui possiamo dire che il primo integrale
$int 1/(t^2+1)dt = arctan(t) + c$
...ma come faccio a risolvere il secondo?
con il principio di identità dei polinomi?? non mi sembra...
ho pensato a qualche ulteriore sostituzione, ma non riesco a intravederne qualcuna che potrebbe essermi utile...
quel $1/((t^2+1)^2)$ potrebbe anche essere visto come $(1/(t^2+1))^2$ ma nemmeno questo mi porta a niente...
per parti??
mah... sono disperata...
spero che qualcuno con più esperienza di me saprà darmi qualche suggerimento
Risposte
si può fare per parti o sostituendo $ t= tg (x)$
"~Mihaela~":
$ int 1/((t^2+1)^2)$
prova con la scomposizione della frazione attraverso l'uso di A e B
ragazzi, io ci ho provato... davvero, però... 
ma soprattutto $tg(t)=x$ ??
in quel caso
$dt=1/(cos^2(x))dx$ quindi $dx=(cos^2(x))dt$
mi sembra che complico invece di risolvere...
ho riprovato anche per parti...
può essere che mi faccio imbrogliare dai segni... perchè ottengo identità: $0=0$... mah
@enrico91: scusa, ma non so scomporre $(t^2+1)^2$ in modo conveniente...
perchè se scrivo:
$1/(t^2+1)^2=(At+B)/(t^2+1)+(Ct+D)/(t^2+1)$ ...quale sarebbe il minimo comune multiplo?? di certo non sarà $(t^2+1)^2$
ma soprattutto $tg(t)=x$ ??
in quel caso
$dt=1/(cos^2(x))dx$ quindi $dx=(cos^2(x))dt$
mi sembra che complico invece di risolvere...
ho riprovato anche per parti...
può essere che mi faccio imbrogliare dai segni... perchè ottengo identità: $0=0$... mah
@enrico91: scusa, ma non so scomporre $(t^2+1)^2$ in modo conveniente...
perchè se scrivo:
$1/(t^2+1)^2=(At+B)/(t^2+1)+(Ct+D)/(t^2+1)$ ...quale sarebbe il minimo comune multiplo?? di certo non sarà $(t^2+1)^2$
allora se sommi e sottrai $t^2$ al numeratore ottieni due integrali un banale l' altro $ t/(1+t^2)^2 t$ ora puoi farlo per parti
ummm... interessante... effettivamente questo passaggio darebbe una svolta,...
solo che non mi è mai capitato di sommare e sottrarre una variabile...
e non mi convince molto...
...ma intanto vedo che succede
solo che non mi è mai capitato di sommare e sottrarre una variabile...
e non mi convince molto... ...ma intanto vedo che succede
ora l'integrale da risolvere è:
$int (t^2)/((1+t^2)^2)dt$
[size=75]EDIT: avevo scritto male prima[/size]
$int (t^2)/((1+t^2)^2)dt$
[size=75]EDIT: avevo scritto male prima[/size]
no... io ho scritto l' integrale in un modo diverso .
se vuoi risolverlo per parti devi considerare $f(t)= t$ non $f(t)= t^2$ non ho scritto a caso $t t$ invece che $t^2$
se vuoi risolverlo per parti devi considerare $f(t)= t$ non $f(t)= t^2$ non ho scritto a caso $t t$ invece che $t^2$
"~Mihaela~":
ora l'integrale è:
$int 1/(1+t^2)*t^2dt$
ma non è più semplice in questo modo
$int (t^2+1-1)/(1+t^2)dt$
$int (t^2+1)/(1+t^2)dt - int (1/(1+t^2))$
$t-arctg(t)+c$
al denominatore c'è (1+t^2)^2 avete sbagliato a scrivere
vero... è sbagliato...
comunque, sì... anch'io ho provato a fare un'ulteriore sostituzione $t^2=k$ o $z$ o non so che altro scriverci..
ma ho dovuto interrompere... e adesso ho visto che, come ha detto baldo89, mi sono dimenticata di elevare al quadrato il binomio al denominatore...
adesso ci riprovo
comunque, sì... anch'io ho provato a fare un'ulteriore sostituzione $t^2=k$ o $z$ o non so che altro scriverci..
ma ho dovuto interrompere... e adesso ho visto che, come ha detto baldo89, mi sono dimenticata di elevare al quadrato il binomio al denominatore...
adesso ci riprovo
niente da fare... ci rinuncio...
vi ringrazio, comunque
vi ringrazio, comunque
integrando per parti $int 1/(1+t^2) dt$ , tenendo $1/(1+t^2)$ come fattore finito e $dt$ come fattore differenziale, si ottiene
$int 1/(1+t^2) dt=t*1/(1+t^2)-int t*(-2t)/(1+t^2)^2 dt=t/(1+t^2)+2int (t^2+1-1)/(1+t^2)^2 dt=t/(1+t^2)+2int 1/(1+t^2) dt +2int -1/(1+t^2)^2 dt$
Quindi
$int 1/(1+t^2) dt=t/(1+t^2)+2int 1/(1+t^2) dt -2int 1/(1+t^2)^2 dt$ da cui
$int 1/(1+t^2)^2 dt=1/2*(t/(1+t^2)+int 1/(1+t^2) dt )$
$int 1/(1+t^2) dt=t*1/(1+t^2)-int t*(-2t)/(1+t^2)^2 dt=t/(1+t^2)+2int (t^2+1-1)/(1+t^2)^2 dt=t/(1+t^2)+2int 1/(1+t^2) dt +2int -1/(1+t^2)^2 dt$
Quindi
$int 1/(1+t^2) dt=t/(1+t^2)+2int 1/(1+t^2) dt -2int 1/(1+t^2)^2 dt$ da cui
$int 1/(1+t^2)^2 dt=1/2*(t/(1+t^2)+int 1/(1+t^2) dt )$
grazie!! non ci sarei mai arrivata da sola!!!! grazie mille... e scusa se rispondo solo adesso
a presto
a presto
Io avrei adottato un approccio più scolastico, anche se un po' pedante. Notando che $-x^2+x+2=\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$, aggiungendo, sottraendo, moltiplicando e dividendo per 1/2 vari,
$int\frac{x}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}dx=int{-\frac{1}{2}\frac{-2(x-\frac{1}{2})}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}}dx$
Con le sostituzioni $s=\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ nel primo addendo e $t=x-\frac{1}{2}$ nel secondo, l'integrale diventa
$-frac{1}{2}int\frac{ds}{sqrt{s}}+frac{1}{2}int\frac{dt}{sqrt{9/4-t^2}}=sqrt{s}+1/2arcsin*(2/3t)=sqrt{-x^2+x+2}+1/2arcsin(2/3(x-1/2))$
$int\frac{x}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}dx=int{-\frac{1}{2}\frac{-2(x-\frac{1}{2})}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{sqrt{\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}}}dx$
Con le sostituzioni $s=\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ nel primo addendo e $t=x-\frac{1}{2}$ nel secondo, l'integrale diventa
$-frac{1}{2}int\frac{ds}{sqrt{s}}+frac{1}{2}int\frac{dt}{sqrt{9/4-t^2}}=sqrt{s}+1/2arcsin*(2/3t)=sqrt{-x^2+x+2}+1/2arcsin(2/3(x-1/2))$
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