Integrale,dove sbaglio

[barone_81]

Non riesco a capire dove commetto errorri su questo integrale...
$ int e^xlog(1+e^-x)dx $
Procedo per parti e decido di integrare la funzione $ log(1+e^-x) $ che mi viene $ -e^-x/(1+e^-x) $

Secondo la formula di integrazioni per parti mi verrebbe
$ e^xlog(1+e^-x)-int e^x(-e^-x/(1+e^-x))dx $
Svolgendo la moltiplicazione
$ e^xlog(1+e^-x)-int (-1/(1+e^-x))dx $
porto fuori il -1
$ e^xlog(1+e^-x)+int 1/(1+e^-x)dx $
Quindi il risultato sarebbe:
$ e^xlog(1+e^-x)+log(1+e^-x)dx $

Guardando online mi risulta
$ e^xlog(1+e^x)+log(1+e^-x)dx $

dove toppo?

[solaàl]

Il risultato sembra essere \(e^x \log \left(e^{-x}+1\right)+\log \left(e^x+1\right)\), quindi sbagliate tutti e due; il punto è che
\[ \int \frac{1}{1+e^{-x}}dx = \log(1+e^{{\color{red}+}x})+C\] non col meno.

[Bokonon]

@barone_81
...ma poi perché integrare il logaritmo?
Integrando $e^x$ si fa letteralmente a mente in due passaggi

[pilloeffe]

Ciao barone_81,

"barone_81":Quindi il risultato sarebbe:
$ e^xlog(1+e^-x)+log(1+e^-x)dx $

A parte l'evidente errore del $dx$, che ovviamente non deve esserci, c'è anche quello della costante di integrazione, che invece manca e deve esserci; sul risultato del secondo integrale ha ragione solaàl, per rendertene conto facilmente basta che lo riscrivi diversamente:

$\int 1/(1 + e^{- x})\text{d}x = \int 1/(1 + 1/e^x)\text{d}x = \int e^x/(1 + e^x)\text{d}x = log(1 + e^x) + c $

Dunque si ha:

$ \int e^x log(1+e^-x) \text{d}x = e^x log(1+e^-x) + log(1 + e^x) + c $

"barone_81":Guardando online mi risulta
$ e^xlog(1+e^x)+log(1+e^-x)dx $

A parte che hai ripetuto l'errore del $dx$ ed anche quello della costante, veramente guardando online a me risulta

$ \int e^x log(1+e^-x) \text{d}x = x + (1 + e^x) log(1 + e^-x) + c = $
$ = e^x log(1 + e^-x) + log(1 + e^-x) + x + c = e^x log(1 + e^-x) + log(1 + e^-x) + log e^x + c = $
$ = e^x log(1 + e^-x) + log[e^x(1 + e^-x)] + c = e^x log(1+e^-x) + log(1 + e^x) + c $

che è proprio quella già ottenuta precedentemente.