Integrale x(sqrt(1-x^2) con integrazione per parti.

[trustedin]

Buonasera e grazie in anticipo. Io ho l'integrale:
$ int xsqrt(1-x^2) dx $
e la prima cosa che mi è venuta in mente è l'integrazione per parti, ma ho non pochi problemi e vi spiego il motivo chiedendovi aiuto perchè non giungo a nessuna soluzione.
Io considero:
$ { ( int f(x)g'(x) dx =f(x)g(x)-intf'(x)g(x) dx ),( f(x)=sqrt(1-x^2) ),( f'(x)=(-x)/(sqrt(1-x^2)) ),( g(x)=(x^2)/2 ),( g'(x)=x ):} $
quindi il tutto diviene:
$ int xsqrt(1-x^2) dx = sqrt(1-x^2)*x^2/2-int-x/(sqrt(1-x^2))*x^2/2dx $
invece di semplificarsi la cosa si è molto complicata perchè non so continuare.
se inverto le funzioni, per cui:
$ { ( int f(x)g'(x) dx =f(x)g(x)-intf'(x)g(x) dx ),( f(x)=x ),( f'(x)=1 ),( g(x)=(xsqrt(1-x^2)+arcsin(x))/2 ),( g'(x)=sqrt(1-x^2) ):} $
tutto diviene:
$ int xsqrt(1-x^2) dx = x*(xsqrt(1-x^2)+arcsin(x))/2-int(xsqrt(1-x^2)+arcsin(x))/2dx $
per cui peggio mi sento.
Un mio compagno ha usato un metodo che gli torna, ma che non ho capito e non so come giungerci logicamente per il quale ha integnato:
$ int(1-x^2)^(1/2)=(1-x^2)^(1/2+1)/(1/2+1 $
giungendo a:
$ int(1-x^2)^(1/2)=(2(1-x^2)^(3/2))/3 $
è già qui, a mio modesto parere ci sono errori; perchè, poi ha derivato giungrndo ad un risultato diverso da quello da cui è partito. Se si deriva la funzione sopra si ottiene:
$ -2xsqrt(1-x^2) $
effettivamente questo risultato è molto simile al nostro $ xsqrt(1-x^2) $ c'è solo da dividere per -2
per cui posso affermare che:
$ int xsqrt(1-x^2) dx =((2(1-x^2)^(3/2))/3)/-2 $
ossia:
$ int xsqrt(1-x^2) dx =-((1-x^2)^(3/2))/3 $
per cui il risultato c'è, ma io non ci ho capito nulla. Qualcuno può gentilmente spiegarmi il tutto?
grazie e buona serata

[Lo_zio_Tom]

Sostituzione

$ x=sen t $ e risolvi subito

[Trivroach]

In alternativa puoi anche porre $ t=1-x^2 $ in modo che sia $ dt=-2xdx $ . In tal modo l'integrale diventa:

$ -1/2int_()^() sqrt(t )dt $

[anto_zoolander]

Oltre questi metodi, ce ne sono altri due:
uno più complesso, il primo che ti illustrerò.
Il secondo che è praticamente di risoluzione immediata

$intxsqrt(1-x^2) dx$

pongo $y=sqrt(1-x^2)$ per la sostituzione

e $dy=(-x)/sqrt(1-x^2)dx$ per il differenziale


$intx*(1-x^2)/sqrt(1-x^2)dx$ ho razionalizzato moltiplicando per $sqrt(1-x^2)$


$-int(1-x^2)*(-x)/(sqrt(1-x^2))dx$ ho portato la $x$ sopra il segno di frazione ed aggiunto il $-$ sia fuori che dentro.

così facendo ho il termine con cui sostituire il differenziale. Ora mi riscrivo l'integrale nella nuova variabile. Facendo un piccolo rimaneggiamento.

$-int(1-x^2)dy$

$1-x^2=sqrt((1-x^2)^2) forallx in[-1,1]$ ricordiamo che la funzione è definita in questo intervallo.

tecnicamente $sqrt((1-x^2)^2)=|1-x^2|=1-x^2$ questa relazione sussiste poiché $f(x)geq0 forallx in[-1,1]$ siccome per definizione il modulo è: $f(x)geq0 => |x|=x, f(x)leq0 => |x|=-x$
in parole povere il modulo di una funzione coincide con la stessa, se essa è positiva. Siccome è $1-x^2$ è positiva $forallx in[-1,1]$ allora tutti questi rimaneggiamenti equivalgono al non far nulla, quindi possiamo farlo a cuor legger per permettere alla nostra $y$ di tornare.

$1-x^2=sqrt((1-x^2)^2)=(sqrt(1-x^2))^2=(y)^2=y^2$ il passaggio (y)^2=y^2 è banale.

$-int(y)^2dy$

$-inty^2dy$

$-y^3/3+c$

$F(x)= -1/3(sqrt(1-x^2))^3+c$

oppure si sarebbe potuta risolvere easy senza fare nulla.

$intxsqrt(1-x^2)dx=intx(1-x^2)^(1/2)dx$

sistemiamo le costanti..

$-1/2int-2x(1-x^2)^(1/2)dx$ notiamo che è scritta nella forma $intf'(x)*f(x)^kdx=(f(x)^(k+1))/(k+1), kne-1$ procediamo...

$f(x)=1-x^2$
$f'(x)=-2x$
$k=1/2$

questi sono i 3 pezzi che compongono la funzione integranda. Il tuo compagno ha visto semplicemente $intf(x)^kdx$ ed è partito senza tener conto che se integri a random facendo

$intf(x)^kdx=(f(x)^(k+1))/(k+1)$

ottieni qualcosa di totalmente diverso, proprio perché non hai tenuto conto del fatto che derivando spunta un fattore in più.

$D[(f(x)^(k+1))/(k+1)]= ((k+1)f(x)^k)/(k+1)*f'(x)=f'(x)*f(x)^k$

infatti prima di far tutto, ho dovuto sistemare le costanti aggiungendo un meno dentro e mettendo $1/2$ fuori e $2$ dentro. Proprio con le costanti mi sono riportato alla forma, che sono proprio quelle più importanti. Perché qualcosa fosse stata $f'(x)=1$ anche integrando a random, avrebbe beccato il risultato giusto. Il problema sta nel fatto che l'integrale spunta così

$-1/2intf'(x)*f(x)^kdx$

Quello che ha fatto il tuo amico è stato proprio considerare $f'(x)=1$ ma abbiamo visto che la funzione è $f(x)=1-x^2$ e, tolto $1$, la derivata di $-x^2$ è $-2x(ne1)$

comunque continuando otteniamo..

$-1/2int-2x(1-x^2)^(1/2)dx= -1/2((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1)$

$-1/2((1-x^2)^(3/2))/(3/2)=-1/3(sqrt(1-x^2))^3+c$ senza far nulla.

spero di essere stato chiaro, in caso contrario, chiedi pure.

[trustedin]

grazie mille a tutti.
Un particolare a anto_zoolander che è chiarissimo

[anto_zoolander]

di nulla