Integrale x*arctangx

[amicodelpinguino]

salve a tutti vi descrivo il mio problema : devo integrare $ x arctan(x ) $
chiaramente procedo per parti : $ x arctan(x) - int1/ (1+x^2) $

cosa mi conviene fare : la funzione integranda è riconducibile all' arctan(x) ma la primitiva della funzione integranda é $ x arctan(x) - 1/2log (1/(1+x^2)) $

potete illuminarmi su quest'utlimo passaggio
sto percorrendo la strada dei fratti semplici ma senza risultato

[francescop21]

"amicodelpinguino":salve a tutti vi descrivo il mio problema : devo integrare $ x arctan(x ) $
chiaramente procedo per parti : $ x arctan(x) - int1/ (1+x^2) $

non mi è chiaro: hai integrato per parti è ti è uscito $ x arctan(x) - int1/ (1+x^2) $??

[ReDavide]

integrando per parti in qualsiasi modo non mi esce quello che hai scritto tu

io farei integrando per parti con $ x $ e $ arctg(x) $ : $ int_()^() x*arctg(x)dx = x^2/2*arctg(x) - int_()^() x^2/(2(1+x^2))dx $ da qui l'integrale è quasi immediato

[amicodelpinguino]

sto facendo una granda confusione ;
riscrivo l'integrale
$ 1/2 x^2*arctang(x) -1/2 int x^2/(1+x^2)dx $
non so risolvere l'integrale razionale

[ReDavide]

aggiungi e togli 1 al numeratore e poi spezza la frazione

[amicodelpinguino]

allora ho risolto l'integrale come mi hai detto e ottengo $ 1/2 x^2 arctang(x)-1/2x-1/2arctang(x)+c $
ma la cosa che mi sta lasciando perplesso è questa : $ intarctang(x)dx $
per parti ottengo $ x arctang(x)-int1/(1+x^2)dx $

la soluzione è $ x arctang(x)-1/2log(1+x^2) +c $
come mai?

[ReDavide]

ok l'integrale che hai scritto nel primo post l'hai risolto giusto

adesso hai scritto un altro integrale, e anche questo si fa per parti (integrando $1$ e derivando $arctg(x)$ )

[francescop21]

"amicodelpinguino": ma la cosa che mi sta lasciando perplesso è questa : $ intarctang(x)dx $
per parti ottengo $ x arctang(x)-int1/(1+x^2)dx $

non mi sembra giusto

[amicodelpinguino]

allora facciamo tutti i passagi : $ int1*arctang(x)= xarctang(x)-int1/(1+x^2)dx $
questo passaggio è giusto?
come faccio a ricavare il logaritmo?

[francescop21]

"amicodelpinguino":allora facciamo tutti i passagi : $ int1*arctang(x)= xarctang(x)-int1/(1+x^2)dx $
questo passaggio è giusto?

no, manca qualcosa nel secondo integrale: $\int f*G = F*G - \int g*F$

[ReDavide]

no manca la x al numeratore: $ int1*arctang(x)= xarctang(x)-intx/(1+x^2)dx $ moltiplicando e dividendo per due l'ultimo integrale si ha $1/2int2x/(1+x^2)dx $ che è del tipo $int(f'(x))/f(x)dx $ ed è uguale a $ln(f(x))$

ricapitolando si ha $ int1*arctang(x)= xarctang(x)-intx/(1+x^2)dx = xarctang(x)-1/2int2x/(1+x^2)dx = xarctang(x)-1/2ln(1+x^2) +c $

[amicodelpinguino]

$ x arctang(x)-intx/(1+x^2)dx $
applicando il metodo dei fratti semplici otteniamo
$ intx/(1+x^2)dx =int(Ax+B )/(1+x^2) $
A=1 B=0
Risolvo
$ 2)intx/(1+x^2)dx =int1/(1+t) dt $
e il gioco è fatto

[amicodelpinguino]

ah ci sono arrivato dopo...
giuro che non ho visto la soluzione di reDavide
grazie mille a tutti

[francescop21]

la soluzione di ReDavide è quella giusta e

"amicodelpinguino":$ x arctang(x)-intx/(1+x^2)dx $
applicando il metodo dei fratti semplici otteniamo
$ intx/(1+x^2)dx =int(Ax+B )/(1+x^2) $
A=1 B=0

qui i fratti semplici proprio no!! Perché il discriminante del numeratore è negativo