Integrale x^2 ln((1+x)/(1-x))

[Maltese1]

Ditemi se è corretto:

$\int x^2ln\frac{1+x}{1-x}dx$

$=\int x^2ln(1+x)-\int x^2ln(1-x)$

risolviamo separatamente i due integrali, operando per parti.

$\int x^2ln(1+x)dx$ con $f(x)=ln(1+x)$ , $g'(x)=x^2$ , $f'(x)=\frac{1}{1+x}$ , $g(x)=\frac{x^3}{3}$ si ha:

$\int x^2ln(1+x)dx=\frac{x^3}{3}ln(1+x)-\int \frac{x^3}{3}\frac{1}{1+x}dx=\frac{x^3}{3}ln(1+x)-1/3\int \frac{x^3+1-1}{1+x}dx=$

$=\frac{x^3}{3}ln(1+x)-1/3\int x^2 -x+1-\frac{1}{1+x}dx=\frac{x^3}{3}ln(1+x)-x^3/9+x^2/6-x/3+1/3ln(1+x)+c_1$

Analogamente si ha:

$\int x^2ln(1-x)dx=\frac{x^3}{3}ln(1-x)-x^3/9-x^2/6-x/3-1/3ln(1+x)+c_2$

Quindi avremo:

$\int x^2ln\frac{1+x}{1-x}dx=\int x^2ln(1+x)-\int x^2ln(1-x)=$

$\frac{x^3}{3}ln(1+x)-x^3/9+x^2/6-x/3+1/3ln(1+x)-\frac{x^3}{3}ln(1-x)+x^3/9+x^2/6+x/3+1/3ln(1+x)+(c_1+c_2)$

$=1/3 [x^3ln(\frac{1+x}{1-x})+ln(1-x^2)+x^2]+(c_1+c_2) .$

Volevo sapere soprattutto se il ragionamento intrapreso è corretto.
Grazie

[*v.tondi]

Ho controllato tutti i tuoi passaggi e sono corretti. Due piccole sviste, al primo passaggio ti sei dimenticato $dx$ all'integrale principale scomposto nella differenza di due integrali. L'altra è questa, alla fine (ma non è gravissima, il risultato non cambia) non è $c_1+c_2$ ma $c_1-c_2$ in quanto hai fatto la differenza all'inizio dell'esercizio (differenza di integrali). Ma non sono orrori.
Ciao.