Integrale Vol.2

[Sk_Anonymous]

Int da - a + infinito di x/(e^x-e^-x)

Sapete farlo?
Grazie

[Nidhogg]

Io l'ho risolto sfruttando le funzioni iperboliche (il denominatore è uguale a 2sinh(x)) e utilizzando due volte la sostituzione.

[ale712]

cosi a occhio salta fuori un Pi greco, forse Pi greco alla seconda (sono più o meno tutti uguali...)dopo se ho un po' di tempo provo a farlo
ciao

Ale7

[Piera4]

se non sbaglio romaluca fa analisi complessa, quindi io lo farei
con il teorema dei residui.
premetto che non ho fatto nessun calcolo, comunque
in genere integrali di questo tipo si calcolano su cammini
rettangolari:
in questo caso io proverei con il rettangolo di vertici
-R , R , R + Pi*i, -R + Pi*i
nel lato che va da (R + Pi*i) a (-R + Pi*i) metterei una semicirconferenza che ruota attorno al polo Pi*i
ripeto prendi questi dati col beneficio del dubbio
perchè non ho fatto nessun calcolo

[Sk_Anonymous]

L'idea del cammino rettangolare è giusta.
Si ma come si fa a integrarlo su un cammino rettangolare?

[Piera4]

Indico con r il raggio della semicirconferenza attorno a Pi*i
inoltre prendo la semicirconferenza che sta sotto il polo,
per il teorema di Cauchy la funzione f(z)=z/(e^z –e^-z) =z/2(senhz) è
olomorfa, quindi l’integrale sul cammino=0 , senhz è il seno iperbolico
(se invece prendi la semicirconferenza sopra il polo puoi
applicare il teorema dei residui, fai come meglio credi).
Scriviamo il cammino:
int tra –R e R di x/(e^x –e^-x)dx + (1)
int tra 0 e Pi di (R + i * y)/2senh(R + i * y) * i dy + (2)
int tra R e r di (x + i * Pi)/2senh(x + i * Pi) dx + (3)
int tra 0 e –Pi sulla semicirconferenza + (4)
come nel (3) ma tra –r e –R (5)
int tra Pi e 0 di (-R + i * y)/2senh(-R + i * y) * i dy (6)

adesso il (2) e il (6) --> 0 per R --> +infinito
il (4) per un noto lemma --> -Pi * i* residuo(polo P*i)=-Pi^2 /2 per r -->0
gli altri possono essere scritti come segue
(per il (3) osserva che senh(x + i * Pi)= -senh(x))
sommando e portando a secondo membro il (4) :
2 * int da – a +inf di x/(e^x –e^-x)dx +
i*Pi * int da – a + inf di 1/2senhx dx = Pi^2 /2
da cui uguagliando le parti reali e immaginarie si ha che il secondo integrale
è 0 (naturalmente nel senso del valore principale di Cauchy),
il primo che è quello del tuo esercizio è = Pi^2 /4
spero, dopo tutta questa fatica, di non aver commesso errori

[Piera4]

romaluca, toglimi una curiosità:
questo esercizio è stato dato in un compito d'esame?
se si, non c'era come suggerimento il cammino?
se non c'era, ritengo che sia durissimo
passare lo scritto.
comunque se guardi il libro "variabili complesse"
che ti ho consigliato, trovi alcuni esempi svolti
simili a questo e tanti altri con il relativo suggerimento.

[Sk_Anonymous]

Il suggerimento c'era.
Il libro non lo vorrei comperare.Ne ho già comprati 2
E non posso spendere altri soldi
E poi questo è l'ultimo esame che manca per laurearmi.
Quindi aiutatemi.

[Sk_Anonymous]

Scusa non avevo visto il tuo primo post.
Adesso controllo.

[Piera4]

mi è venuto in mente che forse fai questi esercizi
in maniera diversa rispetto a come sono abituato ad affrontarli
io. quindi forse ti conviene lavorare sul cammino
che ti ho scritto prima tralasciando la seconda parte
che ho scritto molto sinteticamente e in maniera non molto
chiara. ovvero considera solo questa parte:
int tra –R e R di x/(e^x –e^-x)dx + (1)
int tra 0 e Pi di (R + i * y)/2senh(R + i * y) * i dy + (2)
int tra R e r di (x + i * Pi)/2senh(x + i * Pi) dx + (3)
int tra 0 e –Pi sulla semicirconferenza + (4)
come nel (3) ma tra –r e –R (5)
int tra Pi e 0 di (-R + i * y)/2senh(-R + i * y) * i dy (6)

se vuoi applicare il teorema dei residui, integra il (4)
tra 0 e Pi.
il punto chiave dell'esercizio sono gli integrali (1), (3) , (5)
quando R tende a +inf , e r tende a 0 ottieni
int da – a +inf di x/(e^x –e^-x)dx + (1)
int tra +inf a 0 di (x + i * Pi)/2senh(x + i * Pi) dx + (3)
int tra 0 e -inf di (x + i * Pi)/2senh(x + i * Pi) dx + (5)

adesso senh(x + i * P)=-senh(x) basta fare un semplice calcolo
mettendo al posto del senh la sua espressione esponenziale
quindi si ottiene
int da – a +inf di x/(e^x –e^-x)dx + (1)
-int tra +inf a 0 di (x + i * Pi)/(e^x –e^-x) dx + (3)
-int tra 0 e -inf di (x + i * Pi)/(e^x –e^-x) dx + (5)

nel (3) e nel (5) inverti gli estremi di integrazione cambiando di segno e ottieni:
2 * int da - a +inf di x/(e^x –e^-x)dx +
i * Pi int da - a +inf di 1/(e^x –e^-x)dx

[Sk_Anonymous]

Grazie di avermi dato la soluzione e scusa se rispondo cosi in ritardo.
Ho 2 problemi sulla soluzione:

1) Gli integrali (2) e (4) per quale lemma si annullano??

2)Quando vale il secondo integrale della soluzione...(iPi int - a + inf...)

Grazie

[Piera4]

faccio un breve riassunto.
ferme restando le precedenti notazioni, dal teorema di cauchy
segue (cioè considero la semicirconferenza sotto il polo):
(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6) = 0

gli integrali che si annullano sono il (2) e il (6) , non il (4)
per dimostrare che (2) si annulla non so se esiste un lemma generale, quindi occorre ragionare come segue

dimostriamo che il (2)-- >0 per R-- > +inf
premetto la seguente proprietà , se z1 e z2 sono numeri complessi
allora | z1 - z2 | >= | z1 | - | z2 |
da questa proprietà segue che
|2senh(R + i * y)|=|exp(R + i * y) – exp(-R – i *y)|>=
>= |exp(R + i * y)| – |exp(-R – i *y)| = exp (R) – exp (-R)

quindi |(R + i * y)/2senh(R + i * y) * i | =
= |(R + i * y)|/|2senh(R + i * y)| * | i | <=
<= |(R + i * y)|/( exp (R) – exp (-R)) <=
<= ( R + |y| )/ (exp (R) – exp (-R))

nell’ultimo passaggio ho sfruttato la proprietà
| z1 + z2 | <= | z1 | + | z2 |

adesso sfrutto il fatto che | int f(z)dz | <= int |f(z)|dz e ottengo
| int tra 0 e Pi di (R + i * y)/2senh(R + i * y) * i dy | <=
int tra 0 e Pi di |(R + i * y)/2senh(R + i * y) * i| dy <=
int tra 0 e Pi di ( R + |y| )/ (exp (R) – exp (-R)) dy (*)
quest’ultimo integrale lo si può calcolare facilmente
una primitiva è ( R *y+ y^2 /2 )/ (exp (R) – exp (-R))
quindi (*)=(R *Pi+ Pi^2 /2 )/ (exp (R) – exp (-R))-->0
per R-->+inf
in definitiva ho dimostrato che | (2) | <= (*) -- >0
quindi (2)-- > 0 per R-->+inf
analogamente si dimostra il (6)

per il calcolo del (4), cioè della semicirconferenza attorno
al polo ho utilizzato il seguente lemma
sia z0 un polo semplice di una funzione f ,
si indichi con (**)= int tra alfa e beta della funzione f lungo un tratto di circonferenza di centro z0 e raggio r, allora
limite per r-->0 di (**)= (beta – alfa)*i* residuo di f in z0

nel nostro caso alfa =0 , beta = -Pi
il polo semplice z0= Pi *i
e il tratto di circonferenza è la semicirconferenza sotto il polo
quindi per r -- > 0 (4) -- > - Pi^2 /2

torniamo a quello che ho scritto all’inizio:
(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6) = 0
in base a quello che ho detto si ha
(1)+(3) –Pi^2 /2 +(5)=0
porto a secondo membro il terzo termine e ottengo
(1)+(3) +(5)= Pi^2 /2
in base a quello che ho detto nel post precedente si ha
2 * int da - a +inf di x/(e^x –e^-x)dx +
i * Pi int da - a +inf di 1/(e^x –e^-x)dx = Pi^2 /2

indico con a il valore del primo integrale e con b il secondo

2 * a + i * Pi * b= Pi^2 /2

adesso eguaglio la parte reale a primo membro,
cioè 2 * a, con la parte reale a secondo membro, cioè
Pi^2 /2, e ottengo
2 * a = Pi^2 /2 quindi
a = Pi^2 /4
quindi il nostro integrale vale Pi^2 /4

la parte immaginaria, cioè Pi * b, deve essere eguagliata alla
parte immaginaria a secondo membro che è 0, quindi si ha
b = 0 nel senso del valore principale di cauchy.

se non hai capito qualcosa dimmelo pure
se non conosci il lemma che ho utilizzato per il (4)
o se nel tuo libro ci sono teoremi diversi da quelli che ho
applicato ti conviene postarli e magari dopo possiamo
insieme modificare la soluzione che ho scritto adesso.

[Sk_Anonymous]

Grazie mille,mi sembra abbastanza chiaro.