Integrale vecchio

[Giova411]

$int (dx) / (x^2 + x + 1) $

Tipper qualche giorno fa mi ha dato una soluzione ma ora vorrei chiedere se qualcuno saprebbe consigliare una sostituzione diversa da questa:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=14383

E' richiesto di completare il quadrato nel trinomio (per il denominatore) e operare una sostituzione.

[_nicola de rosa]

"Giova411":$int (dx) / (x^2 + x + 1) $

Tipper qualche giorno fa mi ha dato una soluzione ma ora vorrei chiedere se qualcuno saprebbe consigliare una sostituzione diversa da questa:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=14383

E' richiesto di completare il quadrato nel trinomio (per il denominatore) e operare una sostituzione.

$x^2+x+1=(x^2+x+1/4)+3/4=(x+1/2)^2+3/4=3/4*(4/3(x+1/2)^2+1)=3/4*(((2x+1)/(sqrt3))^2+1)$ per cui
$int (dx) / (x^2 + x + 1) =4/3int1/(((2x+1)/(sqrt3))^2+1)dx$
ora fai la sostituzione $(2x+1)/(sqrt3)=t->dx=sqrt3/2dt$ per cui
$int (dx) / (x^2 + x + 1) =4/3int1/(((2x+1)/(sqrt3))^2+1)dx=4/3*sqrt3/2*int1/(1+t^2)dt=(2sqrt3)/3*arctgt=(2sqrt3)/3*arctg((2x+1)/(sqrt3))+K$

[Giova411]

Si, grazie! E' giusto ma credo sia lo stesso percorso utilizzato da Tipper. Non ci sono alternative?
Pensavo di risolverlo in modo diverso ma non son capace... (...anzi già tanto che ho capito questo...)

[Sk_Anonymous]

"Giova411":Si, grazie! E' giusto ma credo sia lo stesso percorso utilizzato da Tipper. Non ci sono alternative?

Almeno una: l'analisi complessa.

[_nicola de rosa]

"Giova411":Si, grazie! E' giusto ma credo sia lo stesso percorso utilizzato da Tipper. Non ci sono alternative?
Pensavo di risolverlo in modo diverso ma non son capace... (...anzi già tanto che ho capito questo...)

questo percorso è il classico per riportarsi all'integrale dell'arcotangente

[Giova411]

Ah Ok, infatti provavo invano a pensare un modo diverso da questo.

Buonanotte raga!

[Giova411]

Anthony Kiedis ci sei ancora?!