Integrale Valore Principale

[avati91]

Salve a tutti!
Sono alle prese con il seguente integrale da risolvere con la Teoria dei Residui:
\[\int_\infty^\infty \frac{\sin^2(x)}{x^2} dx \]
Dopo avere scelto il circuito chiuso su cui integrare l'estensione complessa dell'integranda (\(f(z)\)), non sono in grado di "saltare" la singolarità \(z0=0\).
Infatti non sono in grado di applicare il "Lemma del cerchio piccolo" secondo il quale \(lim_{\epsilon \to 0} f(z) dz = i \pi Res(f,z0)\) se \(z=z0\in\mathbb{R}\) è polo semplice per \(f(z)\).
In questo caso, invece, non ho un polo semplice. Come devo procedere?

[gugo82]

Il punto \(x_0=0\) non è singolare, no?

Ad ogni modo, se, come penso, hai preso come funzione ausiliaria \(f(z)=\frac{\sin^2 z}{z^2}\) non penso che possa uscirne alcunché di buono.

[avati91]

Sì, hai ragione è eliminabile. Rimango ancora senza idee chiare. Forse dovrei provare iniziando a sostituire\(sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}\) ? E' che poi non so ancora come andare avanti...

[gugo82]

L'idea di infilare un coseno nell'integrale è ottima!
Basta solo saperla portare avanti...

Spoilerizzo la soluzione, a beneficio di chi volesse esercitarsi in prorio.

Innanzitutto osserva che l'integrando è sommabile in \(\mathbb{R}\) (perché è continuo ed infinitesimo all'infinito d'ordine superiore a \(3/2\)).
Fatta la trasformazione che hai indicato, l'integrale diventa:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}\ \text{d} x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos 2x}{2x^2}\ \text{d} x \\
&\stackrel{t=2x}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t^2}\ \text{d} t \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x
\end{split}
\]
quindi basta calcolare l'integrale all'ultimo membro per concludere.
Dato che:
\[
\cos x = \operatorname{Re} (e^{\imath x}) =\operatorname{Re} (e^{\imath z})\Big|_{z=x}
\]
per la formula di Eulero, si ha:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{Re} \left(\frac{1-e^{\imath x}}{x^2}\right)\ \text{d} x \\
&= \operatorname{Re} \left( \int_{ +\{y=0\}} \frac{1-e^{\imath z}}{z^2}\ \text{d} z\right)
\end{split}
\]
quindi pare opportuno considerare la funzione ausiliaria:
\[
f(z) = \frac{1-e^{\imath z}}{z^2}
\]
e calcolarne l'integrale esteso all'asse reale.

Dato che \(f(z)\) è infinitesima (d'ordine infinitamente elevato) per \(|z|\to +\infty\) quando \(\operatorname{Im} z>0\) e che ha un polo d'ordine \(1\) in \(z_0=0\), possiamo pensare di scegliere il circuito d'integrazione formato da:

[*:2wgmsj7p] la semicirconferenza \(\Gamma (0;R)\) nel semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa nel senso antiorario;

[/*:m:2wgmsj7p]
[*:2wgmsj7p] il segmento d'estremi \(-R\) e \(-r\), percorso dal primo al secondo estremo;

[/*:m:2wgmsj7p]
[*:2wgmsj7p] la semicirconferenza \(\gamma (0;r)\) nel semipiano \(\{ y>0\}\), percorsa nel senso orario;

[/*:m:2wgmsj7p]
[*:2wgmsj7p] il segmento d'estremi \(r\) ed \(R\), percorso dal primo al secondo estremo;[/*:m:2wgmsj7p][/list:u:2wgmsj7p]

ove \(0 Dato che \(f(z)\) non ha singolarità al finito fuori da \(0\), il dominio \(\Omega (r,R)\) racchiuso dal circuito non contiene singolarità, quindi per il teorema integrale di Cauchy risulta:
\[
\int_{+\partial \Omega (r, R)} f(z)\ \text{d} z = 0\; ;
\]
per ogni \(R,r>0\); d'altro canto, si ha:
\[
\int_{+\partial \Omega (r,R)} f(z)\ \text{d} z = \left( \int_{+\Gamma (0;R)} + \int_{-R}^{-r} - \int_{+\gamma (0;r) + \int_r^R}\right)\ f(z)\ \text{d} z
\]
quindi, uguagliando i membri esterni delle precedenti e passando al limite per \(R\to +\infty\) ed \(r\to 0^+\), si scopre che:
\[
\int_{+\{ y=0\}} f(z)\ \text{d} z = \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (0;r)} f(z)\ \text{d} z -\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z\; .
\]
I limiti al secondo membro si calcolano sfruttando i due lemmi di Jordan: in particolare si trova:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (0;r)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z|\to 0^+} z f(z) = -\imath \\
\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \imath\ \lim_{|z|\to +\infty} z f(z) = 0\; ,
\end{split}
\]
sicché riesce:
\[
\int_{+\{ y=0\}} f(z)\ \text{d} z = \pi\; .
\]
Visto che il nostro integrale di partenza era uguale alla parte reale dell'integrale di \(f(z)\) abbiamo certamente:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}\ \text{d} x =\pi\; .
\]

P.S.: Ma è possibile che gli insegnamenti di Metodi Matematici facciano così pena?
Questo è il secondo integrale standard che i capita di risolvere in due giorni...

[avati91]

Grazie mille!
No dai non è colpa dell'insegnamento, almeno in questo caso.
Mea culpa