Integrale valore assoluto

[BHK1]

Ho un dubbio banale su l'integrazione con valore assoluto, ad esempio
$int |1-2sin(x)| dx=(x+2cos(x))*sgn(1-2sin(x))$
quando però l'integrale è definito $int_0^pi |1-2sin(x)|dx =-4+4sqrt(3)-pi/3$
che fine fa "$sgn(f(x))$"?

[BHK1]

Ero convinto che una volta trovata l'antiderivata, calcolato il valore dell'area della funzione, dovessi solo cambiare il segno in base alla funzione sgn(f(x)).

$int_(0)^(pi) 1-2sin(x) dx =pi-4$ completamente diverso da $int_(0)^(pi) |1-2sin(x)| dx =-4+4sqrt(3)-pi/3$
Integri su tre diversi intervalli ($0;pi/6$),($pi/6;(5pi)/6$),($(5pi)/6;pi$) per determinare il segno?
E come scegli gli intervalli per l'integrazione?

[BHK1]

proviamo con questa
$int_0^1|1-x^2-4x|dx$

$1-x^2-4x>0$ è positiva nell'intervallo $-2-sqrt(5) quindi considerando l'intervalli di integrazione
Da $0$ a $sqrt(5)-2$ è positiva; da $sqrt(5)-2$ a $1$ è negativa.

$int_0^(sqrt(5)-2)1-x^2-4xdx+int_(sqrt(5)-2)^1-(1-x^2-4x)dx$

Dico bene?

[BHK1]

Ho provato con $int_0^1|1/2-sin(x)|dx$ però sbaglio i segni; ecco come ho preceduto:
$int_0^(pi/6)+(1/2-sin(x))dx+int_(pi/6)^1-(1/2-sin(x))dx$
$[x/2+cos(x)]_0^(pi/6)+[-x/2-cos(x)]_(pi/6)^1=[cos(0)-pi/12-sqrt(3)/2]+[-pi/12-sqrt(3)/2+1/2+cos(1)]$
$1-pi/12-sqrt(3)/2-pi/12-sqrt(3)/2+1/2+cos(1)=cos(1)+3/2-pi/6-sqrt(3)$
Dove sbaglio?

[BHK1]

perché invertito?

[BHK1]

Si ho notato l'errore da "mona" come direbbero in veneto;
Grazie mille per l'aiuto!