Integrale un po' ostico
Questa è la traccia dell'ultimo esame di analisi:
$y'= (y^3+2y^2+y)/(4y^2+5y+3) (x^5e^(x^3))
Devo trovare la curva integrale passante per il punto (0,-1/2)
Ho diviso le variabili:
$y' (4y^2+5y+3)/(y^3+2y^2+y) = (x^5e^(x^3))$ ==> $y' (4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1) = (x^5e^(x^3))$
e quindi ho integrato da ambo le parti.
Però non riesco a integrare $(4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1)$
Qualcuno mi può mostrare il passaggio successivo?
$y'= (y^3+2y^2+y)/(4y^2+5y+3) (x^5e^(x^3))
Devo trovare la curva integrale passante per il punto (0,-1/2)
Ho diviso le variabili:
$y' (4y^2+5y+3)/(y^3+2y^2+y) = (x^5e^(x^3))$ ==> $y' (4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1) = (x^5e^(x^3))$
e quindi ho integrato da ambo le parti.
Però non riesco a integrare $(4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1)$
Qualcuno mi può mostrare il passaggio successivo?
Risposte
Dovrebbe essere standard come integrazione, nel denominatore hai un quadrato perfetto ancora da scomporre, e poi entra a macchinetta la teoria standard per l'integrazione delle funzioni razionali.
Questa è una buona occasione per applicare la scomposizione di una funzione razionale fratta applicando il teorema dei residui come si è visto in https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6922 . Qui abbiamo la funzione…
$f(y)= (P(y))/(Q(y))= (4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1))$ (1)
La prima cosa da fare è scomporre Q(y) in fattori, cosa assai facile nel nostro caso…
$Q(y)=y(y+1)^2$ (2)
Q(x) ha dunque una radice semplice in y=0 e una radice di molteplicità 2 in y=-1. Per quanto abbiamo visto è possibile scrivere…
$f(y)= (a_1)/y + (a_2)/(y+1)^2+(a_3)/(y+1)$ (3)
… in cui è…
$a_1= lim_(y->0) y f(y)= 3$ (4)
$a_2=lim_(y->-1) (y+1)^2 f(y)= -2$ (5)
$a_3= lim_(y->-1) d/dy (y+1)^2 f(y)= 1$ (6)
Integrare la (3) dopo avervi inserito le costanti ora trovate dovrebbe essere semplice…
cordiali saluti
lupo grigio
$f(y)= (P(y))/(Q(y))= (4y^2+5y+3)/(y(y^2+2y+1))$ (1)
La prima cosa da fare è scomporre Q(y) in fattori, cosa assai facile nel nostro caso…
$Q(y)=y(y+1)^2$ (2)
Q(x) ha dunque una radice semplice in y=0 e una radice di molteplicità 2 in y=-1. Per quanto abbiamo visto è possibile scrivere…
$f(y)= (a_1)/y + (a_2)/(y+1)^2+(a_3)/(y+1)$ (3)
… in cui è…
$a_1= lim_(y->0) y f(y)= 3$ (4)
$a_2=lim_(y->-1) (y+1)^2 f(y)= -2$ (5)
$a_3= lim_(y->-1) d/dy (y+1)^2 f(y)= 1$ (6)
Integrare la (3) dopo avervi inserito le costanti ora trovate dovrebbe essere semplice…
cordiali saluti
lupo grigio
Mi è riuscita!
Questo dimostra che gli insegnamenti di lupo grigio sono andati a buon fine
Questo dimostra che gli insegnamenti di lupo grigio sono andati a buon fine
Conosci il Teorema dei residui? Io credevo che il tuo esercizio fosse un quesito di Analisi 1. Se cosi' fosse allora sarebbe meglio che tu proceda in un altro modo, piu' elementare.
Infatti, è un quesito di analisi 1.
Tu come procederesti?
Tu come procederesti?
Chiedo a lupo grigio (visto che sembra conoscere molto bene il teorema dei residui) è un risultato interessante riuscire a dimostrare che
$int_-pi^pi (dx)/(a-bcosx) = (2pi)/sqrt(a^2-b^2)$ con $a>b>0$
senza utilizzare il teorema dei residui ma solo con l'analisi reale?
perchè ci sono riuscito e volevo sapere se era interessante
Grazie
$int_-pi^pi (dx)/(a-bcosx) = (2pi)/sqrt(a^2-b^2)$ con $a>b>0$
senza utilizzare il teorema dei residui ma solo con l'analisi reale?
perchè ci sono riuscito e volevo sapere se era interessante
Grazie
Per Horus: basta sfruttare il principio di identita' dei polinomi (due polinomi sono identici se e solo se hanno i coefficienti dei termini dello stesso grado uguali). Scrivi la decomposizone (3) del post di Lupo grigio, fai i conti e trovi le costanti usando il principio suddetto.
Ringrazio carlo23 ricambiando i suoi complimenti. Il ‘compito’ che mi sono visto assegnare non è dei più semplici e cercherò di fare del mio meglio…
Si tratta dunque di calcolare l’integrale…
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)$ (1)
… con la condizione $a>b>0$… Benissimo!… Dal momento che è sempre $|b/a cos x|<1$ la funzione sotto il segno di integrale può essere scritta come…
$1/(a-b cosx)= 1/a 1/(1-b/a cos x)$=
=$1/a (1+b/a cos x + (b/a)^2 cos^2 x + …)$ (2)
Alla (2) posso certamente applicare il teorema di integrazione per serie per cui sarà …
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)= 1/a int _(-pi)^(+pi) 1+sum_(n=1)^(oo)(b/a)^n cos^n x dx$ (3)
A questo punto bisogna far ricorso alla trigonometria per esplicitare il termine $cos^n x$. Vi sono due formule, una per n dispri e una per n pari…
$cos^(2n-1)x= 1/(2^(2n-2)) (cos (2n-1)x+(2n-1,1) cos (2n-3)x +… +(2n-1,n-1) cos x)$ (4)
$cos^(2n)x= 1/(2^(2n)) (2n,n)+ 1/(2^(2n-1)) (cos 2nx + (2n,1) cos (2n-2)x +… +(2n,n-1) cos 2x)$ (5)
Nella (4) e (5) si sono indicati i ‘coefficienti binomiali’ con la notazione…
$(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ (6)
Senza star troppo a penare si vede che…
$int_(-pi)^(+pi) cos^(2n-1)x dx=0$ (7)
$int_(-pi)^(+pi) cos ^(2n)x dx= (2pi)/(2^(2n)) (2n,n)= (2pi (2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)$ (8)
Andando a sostituire la (8) nella (3) si ottiene, con un poco di pazienza, il risultato cercato…
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)$=
= $(2pi)/a (1+(b/a)^2/2+(b/a)^4 (1.3)/(2.4) + (b/a)^6 (1.3.5)/(2.4.6) +…)$=
= $(2pi)/a (1-(b/a)^2)^(-1/2)= (2pi)/(sqrt(a^2-b^2))$ (9)
Certo che il teorema dei residui consente di fare le cose in modo assai più agile e spedito…
cordiali saluti
lupo grigio
Si tratta dunque di calcolare l’integrale…
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)$ (1)
… con la condizione $a>b>0$… Benissimo!… Dal momento che è sempre $|b/a cos x|<1$ la funzione sotto il segno di integrale può essere scritta come…
$1/(a-b cosx)= 1/a 1/(1-b/a cos x)$=
=$1/a (1+b/a cos x + (b/a)^2 cos^2 x + …)$ (2)
Alla (2) posso certamente applicare il teorema di integrazione per serie per cui sarà …
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)= 1/a int _(-pi)^(+pi) 1+sum_(n=1)^(oo)(b/a)^n cos^n x dx$ (3)
A questo punto bisogna far ricorso alla trigonometria per esplicitare il termine $cos^n x$. Vi sono due formule, una per n dispri e una per n pari…
$cos^(2n-1)x= 1/(2^(2n-2)) (cos (2n-1)x+(2n-1,1) cos (2n-3)x +… +(2n-1,n-1) cos x)$ (4)
$cos^(2n)x= 1/(2^(2n)) (2n,n)+ 1/(2^(2n-1)) (cos 2nx + (2n,1) cos (2n-2)x +… +(2n,n-1) cos 2x)$ (5)
Nella (4) e (5) si sono indicati i ‘coefficienti binomiali’ con la notazione…
$(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ (6)
Senza star troppo a penare si vede che…
$int_(-pi)^(+pi) cos^(2n-1)x dx=0$ (7)
$int_(-pi)^(+pi) cos ^(2n)x dx= (2pi)/(2^(2n)) (2n,n)= (2pi (2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)$ (8)
Andando a sostituire la (8) nella (3) si ottiene, con un poco di pazienza, il risultato cercato…
$int_(-pi)^(+pi) (dx)/(a-b cos x)$=
= $(2pi)/a (1+(b/a)^2/2+(b/a)^4 (1.3)/(2.4) + (b/a)^6 (1.3.5)/(2.4.6) +…)$=
= $(2pi)/a (1-(b/a)^2)^(-1/2)= (2pi)/(sqrt(a^2-b^2))$ (9)
Certo che il teorema dei residui consente di fare le cose in modo assai più agile e spedito…
cordiali saluti
lupo grigio
Complimenti, io ho capito molto poco...
Ma d'altronde sono ancora alle prime armi con l'analisi
Per Luca:
In effetti il tuo procedimento un po' più alla mia portata. Solo che subito non era riuscito a scomporlo come si deve
Si può calcolare $ int_(-pi)^(pi) dx/(a-bcosx) $ usando le formule parametriche e usando il metodo di integrazione per sostituzione :
$ t = tan(x/2) $; $ cos x = (1-t^2)/(1+t^2) $
$ x = 2*atan t ; dx = 2*dt/(1+t^2) $
e considerando che se $ x= pi/2 , t rarr+00; x =-pi/2 , t rarr -00$.
L'integrale iniziale diventa quindi, dopo qualche passaggio :
$ int_(-00)^(+00)2*dt/[(a+b)t^2+(a-b)]$ =$ (2/(a-b)) int_(- 00)^(+00)dt/[1+sqrt((a+b)/(a-b))t ]^2 $= $2*sqrt(a-b)/((a-b)(sqrt(a+b))$ $int_(- 00)^(+00)sqrt((a+b)/(a-b))*dt/[1+sqrt((a+b)/(a-b))t]^2 $ = $ 2/sqrt(a^2-b^2)*[atansqrt((a+b)/(a-b))t]_(-00)^(+00) $ = $ 2pi/sqrt(a^2-b^2) $.
Camillo
$ t = tan(x/2) $; $ cos x = (1-t^2)/(1+t^2) $
$ x = 2*atan t ; dx = 2*dt/(1+t^2) $
e considerando che se $ x= pi/2 , t rarr+00; x =-pi/2 , t rarr -00$.
L'integrale iniziale diventa quindi, dopo qualche passaggio :
$ int_(-00)^(+00)2*dt/[(a+b)t^2+(a-b)]$ =$ (2/(a-b)) int_(- 00)^(+00)dt/[1+sqrt((a+b)/(a-b))t ]^2 $= $2*sqrt(a-b)/((a-b)(sqrt(a+b))$ $int_(- 00)^(+00)sqrt((a+b)/(a-b))*dt/[1+sqrt((a+b)/(a-b))t]^2 $ = $ 2/sqrt(a^2-b^2)*[atansqrt((a+b)/(a-b))t]_(-00)^(+00) $ = $ 2pi/sqrt(a^2-b^2) $.
Camillo
"lupo grigio":
Ringrazio carlo23 ricambiando i suoi complimenti. Il ‘compito’ che mi sono visto assegnare non è dei più semplici e cercherò di fare del mio meglio…
Bravissimo lupo grigio, anche io ho fatto all'incirca come te, solo che ho usato uno sviluppo in serie di Fourier molto semplice e la funzione generatrice di $((2n),(n))$ che è
$1/sqrt(1-4x)=sum_(n=0)^infty x^n((2n),(n))$
volevo chiederti se è un risultato notevole essere riusciti a dimostrare che
$1/pi int_0^pi cosh(2sqrt(tau)cosx)dx= sum_(n=0)^infty tau^n/(n!^2)$
stesso motivo c'è lo fatta ma non sò se è interessante (anche qui non ho usato l'Analisi Complessa)
Alla formula da te trovata si può arrivare partendo dall’integrale seguente, utilizzato nel precedente postato…
$int_(-pi)^(+pi) cos ^(2n)x dx= (2pi)/(2^(2n)) (2n,n)= ((2pi) (2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)$ (1)
… e ricordando che…
$cosh(x)= sum_(n=0)^(oo) (x^(2n))/((2n)!)$ (2)
Combinando la (1) e la (2) si dimostra senza troppa difficoltà che è…
$f(tau)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) cosh (2sqrt(tau)cos x) dx = sum_(n=0)^(oo) (tau^n)/((n!)^2)$ (3)
Tra l’altro la $f(tau)$ da te 'scoperta' gode di una proprietà davvero ‘strana’. Se interpretiamo la (3) come il suo sviluppo in serie di Taylor, se ne dovrebbe dedurre che…
$f^((n))(tau)_(tau=0)=1/(n!)$ (4)
Ma è veramente così ?… Derivando la (3) sotto il segno di integrale si direbbe di primo acchito di no…
cordiali saluti
lupo grigio
$int_(-pi)^(+pi) cos ^(2n)x dx= (2pi)/(2^(2n)) (2n,n)= ((2pi) (2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)$ (1)
… e ricordando che…
$cosh(x)= sum_(n=0)^(oo) (x^(2n))/((2n)!)$ (2)
Combinando la (1) e la (2) si dimostra senza troppa difficoltà che è…
$f(tau)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) cosh (2sqrt(tau)cos x) dx = sum_(n=0)^(oo) (tau^n)/((n!)^2)$ (3)
Tra l’altro la $f(tau)$ da te 'scoperta' gode di una proprietà davvero ‘strana’. Se interpretiamo la (3) come il suo sviluppo in serie di Taylor, se ne dovrebbe dedurre che…
$f^((n))(tau)_(tau=0)=1/(n!)$ (4)
Ma è veramente così ?… Derivando la (3) sotto il segno di integrale si direbbe di primo acchito di no…
cordiali saluti
lupo grigio
"lupo grigio":
$f^((n))(tau)_(tau=0)=1/(n!)$ (4)
Ma è veramente così ?… Derivando la (3) sotto il segno di integrale si direbbe di primo acchito di no…
cordiali saluti
lupo grigio
Ci ho pensato anche io, però non sò bene... comunque trovo che sia un uguaglianza interessante, dato che tutti sono abituati a considerare solo la serie
$e^x=sum_(n=0)^infty x^n/n!$
ho cercato di trovare uguaglianze simili per la somma
$sum_(n=0)^infty x^n/(n!^3)$
ma ho solo trovato un integrale triplo molto poco elegante, devo usare evidentemente altri metodi.
Sono contento di aver trovato in te una ottima persona a cui fare riferimento
Ciao, ciao
Spero che gli amici mi perdoneranno se dedico qualche ulteriore parola sulla ‘scoperta’ di carlo23, vale a dire la…
$f(tau)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) cosh(2sqrt(tau) cos x)dx= sum_(n=0)^(oo) (tau^n)/(n!^2)$ (1)
E’ del tutto evidente che la serie per valori ‘piccoli’ di x converge assai rapidamente. Supponiamo dunque sia $|tau|<1$ e di approssimare la serie interrompendo la somma al termine di indice k e proviamo a stimare l’errore che commettiamo. Sarà per definizione…
$e= sum_(n=k+1)^(oo) (x^n)/(n!^2)$=
=$(x^(k+1))/((k+1)!^2) (1+x/((k+2)^2)+ (x^2)/((k+2)^2(k+3)^2) +...)$<
<$1/((k+1)!^2) (1+1/(k+2)^2+1/(k+2)^4+...)$=
=$1/((k+1)!^2) 1/(1-1/((k+2)^2))$=
=$1/((k+1)!^2) ((k+2)^2)/((k+2)^2-1)$ (2)
Dalla (2) si vede chiramante che, se è $|tau|<1$, per $tau>0$ l’errore è all’incirca uguale al primo termine trascurato e per $tau<0$ l’errore in modulo è certamente minore del modulo del primo termine trascurato. Facendo un poco di conti si trova che…
k= 4 |e|<7 e-5
k=5 |e|<2 e-6
k=6 |e|<4 e-8
k=7 |e|<6 e-10
Pertanto i primi 7 termini della serie bastano ad ottenere sufficiente accuratezza. I risultati sono riportati qui di seguito…
$tau=-1$ , $f(tau)=.223890778534$
$tau=-.9$, $f(tau)=.283349062577$
$tau=-.8$, $f(tau)=.346466630756$
$tau=-.7$, $f(tau)=.413377614677$
$tau=-.6$, $f(tau)=.484219688898$
$tau=-.5$, $f(tau)=.559134144417$
$tau=-.4$, $f(tau)=.638265963392$
$tau=-.3$, $f(tau)=.721763895148$
$tau=-.2$, $f(tau)=.809780533456$
$tau=-.1$, $f(tau)=.902472395141$
$tau=0$, $f(tau)=1$
$tau=.1$, $f(tau)=1.10252795209$
$tau=.2$, $f(tau)=1.21022502235$
$tau=.3$, $f(tau)=1.32326423266$
$tau=.4$, $f(tau)=1.4418229413$
$tau=.5$, $f(tau)=1.56608292975$
$tau=.6$, $f(tau)=1.6962304911$
$tau=.7$, $f(tau)=1.83245651977$
$tau=.8$, $f(tau)=1.97495660282$
$tau=.9$, $f(tau)=2.12393111274$
$tau=1$, $f(tau)=2.27958530171$
Come si può vedere dal grafico, la funzione presenta regolarità assoluta e poco di discosta da una retta nell’intervallo $-1
cordiali saluti
lupo grigio
$f(tau)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) cosh(2sqrt(tau) cos x)dx= sum_(n=0)^(oo) (tau^n)/(n!^2)$ (1)
E’ del tutto evidente che la serie per valori ‘piccoli’ di x converge assai rapidamente. Supponiamo dunque sia $|tau|<1$ e di approssimare la serie interrompendo la somma al termine di indice k e proviamo a stimare l’errore che commettiamo. Sarà per definizione…
$e= sum_(n=k+1)^(oo) (x^n)/(n!^2)$=
=$(x^(k+1))/((k+1)!^2) (1+x/((k+2)^2)+ (x^2)/((k+2)^2(k+3)^2) +...)$<
<$1/((k+1)!^2) (1+1/(k+2)^2+1/(k+2)^4+...)$=
=$1/((k+1)!^2) 1/(1-1/((k+2)^2))$=
=$1/((k+1)!^2) ((k+2)^2)/((k+2)^2-1)$ (2)
Dalla (2) si vede chiramante che, se è $|tau|<1$, per $tau>0$ l’errore è all’incirca uguale al primo termine trascurato e per $tau<0$ l’errore in modulo è certamente minore del modulo del primo termine trascurato. Facendo un poco di conti si trova che…
k= 4 |e|<7 e-5
k=5 |e|<2 e-6
k=6 |e|<4 e-8
k=7 |e|<6 e-10
Pertanto i primi 7 termini della serie bastano ad ottenere sufficiente accuratezza. I risultati sono riportati qui di seguito…
$tau=-1$ , $f(tau)=.223890778534$
$tau=-.9$, $f(tau)=.283349062577$
$tau=-.8$, $f(tau)=.346466630756$
$tau=-.7$, $f(tau)=.413377614677$
$tau=-.6$, $f(tau)=.484219688898$
$tau=-.5$, $f(tau)=.559134144417$
$tau=-.4$, $f(tau)=.638265963392$
$tau=-.3$, $f(tau)=.721763895148$
$tau=-.2$, $f(tau)=.809780533456$
$tau=-.1$, $f(tau)=.902472395141$
$tau=0$, $f(tau)=1$
$tau=.1$, $f(tau)=1.10252795209$
$tau=.2$, $f(tau)=1.21022502235$
$tau=.3$, $f(tau)=1.32326423266$
$tau=.4$, $f(tau)=1.4418229413$
$tau=.5$, $f(tau)=1.56608292975$
$tau=.6$, $f(tau)=1.6962304911$
$tau=.7$, $f(tau)=1.83245651977$
$tau=.8$, $f(tau)=1.97495660282$
$tau=.9$, $f(tau)=2.12393111274$
$tau=1$, $f(tau)=2.27958530171$
Come si può vedere dal grafico, la funzione presenta regolarità assoluta e poco di discosta da una retta nell’intervallo $-1
cordiali saluti
lupo grigio
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