Integrale un po difficile

[Michele881]

Ragazzi, come risovereste il seguente integrale?

$\int sin(\theta)cos(\theta)*sqrt(sin(\theta)cos(\theta)) d\theta $

Sto provando in vari modi ma nn riesco a venirne a capo!

[Steven11]

Hai provato a dire
$sinthetacostheta=t=1/2sin2theta$
?

[Michele881]

si ho provato a considerare $sin(2\theta)$ ma non mi porta da nessuna parte... e a te?

[klarence1]

Scrivi l'integrale come

$\int (1/2)sin(\2theta)*sqrt((1/2)sin(\2theta)) d\theta $


Prova a fare la sostituzione $t=tg(\theta)$

Io non ho ancora provato a vedere se va bene, appena posso lo provo e ti faccio sapere.

[Federiclet]

Ciao,
premetto 1) non sono un matematico,
2) che mi sono affidato a Maple11 il quale che risolve l'integrale, con una formula affatto intuitiva. La riporto appena sotto sperando tu possa fare il copia incolla se hai Maple installato (da Maple puoi poi trasferire la formula come immagine su DOC).

(4/3)*sqrt(-2*tan((1/2)*x)^3+2*tan((1/2)*x))/(1+tan((1/2)*x)^2)^3+

(4/3)*sqrt(-2*tan((1/2)*x)^3 2*tan((1/2)*x)) /(1+tan((1/2)*x)^2)^2+

+(1/6)*sqrt(1+tan((1/2)*x))*sqrt(-2*tan((1/2)*x)+2)*sqrt(-tan((1/2)*x))*EllipticF (sqrt(1+tan((1/2)*x)), (1/2)*sqrt(2))/sqrt(-2*tan((1/2)*x)^3+2*tan((1/2)*x))+

- (1/6)*sqrt(-2*tan((1/2)*x)^3+2*tan((1/2)*x))/
(1+tan((1/2)*x)^2)

Il grafico é in compenso molto semplice dominadovi la funzione tangente

Ho provato poi a determinare il valore della primitiva tra 0 e 2Pi ottendendo

(1/3)*EllipticK((1/2)*sqrt(2))-(1/3*I)*EllipticK((1/2)*sqrt(2))

L'unica utilità di questi risultati é di tener presente la possibilità di esprimere le soluzioni in termini di funzione tangente e di integrali ellittici, ovvero di predisporre l'integrando in base a eventuali relazioni note (non a me , sig) tra il suo argomento, le funzioni ellittiche e la funzione tangente al fine di risolverlo, spero più "razionalmente" di quanto abbia fatto io con l'aiuto di Maple.

ciao

taulero

[Michele881]

Mmm.. tenuto conto che l'esercizio è preso da una traccia di esame di Analisi II, (che non puoi svolgere com computer ) e che l'integrale lo ottengo riducendo un integrale doppio, so cominciando a pensare di aver sbagliato qualcosa nell'esercizio
Meglio ricontrollare...

[Federiclet]

ADDENDUM
Ho provato la via indicata passante per 1/2 (sin(2x)), e popi la sostituzione Sqrt(sin(2x))=y

ottenendo la formula -1/(2)*INTEGRALE ( y^(3))/(2*sqrt(1-y^(2)))dy )

si risolve in 1/6 * ((-1+y) * (y+1) * (2 +y^2)) / Sqrt(1-y^2)

spero non ci siano errori, ma meglio che tu controlli, almeno la trasformazione x-> 2x e la sostituzione Sqrt(sin(2x))=y, i passi che ho svolto a mano, ...

riciao