Integrale triplo..problemi con estremi di integrazione..

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi è capitato quest'integrale triplo, non ho la soluzione, ma ho dei dubbi sugli estremi di integrazione. Aiutatemi per favore.
Grazie in anticipo.

$ \int_E z(x^2+y^2)dxdydz $ ove
$ E=\{(x,y,z)^T\in RR^3| x^2+y^2+z^4\leq 4, 1/3(x^2+y^2)\leq z^2\leq 3(x^2+y^2), z\geq 0\} $

ho provato a fare così

passo in coordinate polari $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho sin\theta ),( z=z ):} $ $ det Jac=\rho $

però così facendo ottengo.. queste disuguaglianze $ \rho^2\leq 4-z^4, 1/3\rho^2\leq z^2\leq 3rho^2 $

quindi ho impostato così gli estremi di integrazione
$ \rho \in [0,\sqrt(4-z^4)], z\in[\sqrt(3)/3\rho, \sqrt(3)\rho], \theta\in [0,2\pi] $

eh però così ho $ \int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(\sqrt(4-z^4))d\rho \int _(sqrt(3)/3\rho)^(\sqrt(3)\rho)\rho[z\rho^2]dz $

direi che c'è qualcosa che non va..

qualche idea?..dove sto sbagliando?

[j18eos]

Così, ad occhio ti prongo di scrivere:
\[
z=t^2
\]
dato che \(\displaystyle z\geq0\)!

[21zuclo]

"j18eos":Così, ad occhio ti prongo di scrivere:
\[
z=t^2
\]
dato che \(\displaystyle z\geq0\)!

$z=t^2$

e a che serve?..cioè non penso mi cambi molto..

io penso che il testo dell'esercizio sia sbagliato..

e la prima disuguglianza nell'insieme dovrebbe essere $x^2+y^2+z^2\leq 4$

cioè una sfera..

[stormy1]

"21zuclo":io penso che il testo dell'esercizio sia sbagliato..

e la prima disuguglianza nell'insieme dovrebbe essere x2+y2+z2≤4

cioè una sfera..

lo penso anche io ; però penso anche che per risolvere questo tipo si esercizi bisogna aver ben presente come è fatto l'insieme da parametrizzare : a tal scopo,secondo me è molto utile rappresentare la sua sezione piana mediante il piano $yz$,rappresentando la semicirconferenza di equazione $y^2+z^2=4$ e i grafici delle funzioni $z=sqrt3/3|y|;z=sqrt3|y|$
fatto questo,è evidente che la chiave del problema consiste nel risolvere le equazioni $4-rho^2=3rho^2$ che ha come soluzione $rho=1$ e $4-rho^2=1/3rho^2$ che ha come soluzione $rho=sqrt3$

l'insieme non ha un'unica parametrizzazione,ma 2
1)$theta in [0,2pi];rho in [0,1];z in [sqrt3/3rho,sqrt3rho]$
2)$theta in [0,2pi];rho in [1,sqrt3];z in [sqrt3/3rho,sqrt(4-rho^2)]$

[j18eos]

"21zuclo":[quote="j18eos"]Così, ad occhio ti prongo di scrivere:
\[ z=t^2 \]
dato che \( \displaystyle z\geq0 \)!

$ z=t^2 $

e a che serve?...[/quote]Fai i calcoli!

[21zuclo]

@j18eos

allora ho $x^2+y^2+z^4\leq 4$, pongo $ z=t^2 $

mi viene $ x^2+y^2+t^8\leq 4 $

poi $1/3 (x^2+y^2)\leq z^2\leq 3(x^2+y^2)$

ho $ 1/3(x^2+y^2)\leq t^4\leq 3(x^2+y^2) $

non ho risolto molto il problema...

[j18eos]

Ah, scusami volevo suggerirti:
\[
z=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}
\]
...forse ci sarà da fare qualche passaggio al limite, ma non ne sono sicuro a questo punto!

[21zuclo]

"j18eos":Ah, scusami volevo suggerirti:
\[
z=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}
\]
...forse ci sarà da fare qualche passaggio al limite, ma non ne sono sicuro a questo punto!

non abbiamo mai fatto integrali doppi o tripli con il passaggio al limite..

Comunque boh, a questo punto forse pure tu pensi che il testo sia sbagliato?

[Palliit]

Premesso che la mia ruggine sugli integrali multipli ha almeno una ventina d'anni, così a occhio mi verrebbe da dire che dopo la sostituzione $z^2=t$, forse può essere conveniente passare in coordinate cilindriche ($x=rho cos theta$, $y=rho sin theta$ e $t=t$), se non vedo male si integra subito rispetto a $theta$ e resta un integrale doppio in $rho$ e $t$, esteso alla regione del primo quadrante del piano $(rho, t)$ delimitata da due archi delle parabole $t=1/3rho^2$ e $t=3rho^2$ e dall'arco della circonferenza $rho^2+t^2=4$ compreso tra i due archi di parabola suddetti. Sempre, ovviamente, salvo probabilissimi errori miei.

[21zuclo]

è solo che anche con questa sostituzione $z^2=t$

ti rimane che $t\in [1/3 \rho^2, 3\rho^2]$ e poi $\rho \in[0,\sqrt(4-t^2)]$

in sostanza ottieni di nuovo la stessa cosa che ho scritto all'inizio con la variabile $z$..

[21zuclo]

"TeM":Dunque, premesso che se in un compito
d'esame mi fosse capitato un integrale del genere sarei stato il primo a chiedere al docente se si fosse trattato
di un refuso (perlomeno nella speranza che si metta la mano sul cuore rettificando quell'esponente a tutti quanti),
io direi che potrebbe essere benissimo corretto così quel solido. Infatti...

quel solido in figura è quello che ha $z^2$ al posto di $z^4$ ?.. chiedo solo..

Comunque veramente dei contacci terribili.. concordo che sono primitive elementari, però cavolo eravamo in 30 persone dentro all'aula d'esame e nessuno l'ha detto al prof..

volevo dirlo io, ma visto che sono sempre l'unico a dire le cose..(la prof mi riconosce per questo XD)

Comunque grazie TeM e anche agli altri che hanno provato..

Spero comunque che l'errore sia della prof..

[j18eos]

Sì, però lo jacobiano non è definito per \(\displaystyle t=0\), quindi si deve utilizzare un passaggio al limite opportuno; ovvero quei domini devono essere indiciati anche con \(\displaystyle t\), eppoi, dopo aver calcolato quegli orribili integrali, fare il passaggio al limite \(\displaystyle t\to0\)! : )