INTEGRALE TRIPLO..potete per favore aiutarmi?
Sia V il seguente dominio normale
$V={(x,y,z) in RR^3 : e^(2-(x^2+y^2))
essendo
$\{0<=\rho<=1 ,0<=\theta<=2\pi,e^(2-(x^2+y^2))<=z<=(x^2+y^2):}$
è corretto impostare l'integrale triplo secondo (A) o (B) ?
(A) $\int_{0}^{1}d\rhoint_{0}^{2\pi} d\theta\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2) }dz
(B) $\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2)}{\int_{0}^{2\pi} d\rho\int_{0}^{1} d\theta $ }dz
a mio parere secondo (B)..giusto?
$V={(x,y,z) in RR^3 : e^(2-(x^2+y^2))
essendo
$\{0<=\rho<=1 ,0<=\theta<=2\pi,e^(2-(x^2+y^2))<=z<=(x^2+y^2):}$
è corretto impostare l'integrale triplo secondo (A) o (B) ?
(A) $\int_{0}^{1}d\rhoint_{0}^{2\pi} d\theta\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2) }dz
(B) $\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2)}{\int_{0}^{2\pi} d\rho\int_{0}^{1} d\theta $ }dz
a mio parere secondo (B)..giusto?
Risposte
l' impostazione corretta è A.
può spiegarmi gentilmente perchè?
la soluzione B essendo l'integrale tripo diviso nell'integrale semplice in dz dell'integrale doppio in dydx che con le coordinate polari diventa d$\rho, d\theta$
non dovrebbe essere pure corretta?
la soluzione B essendo l'integrale tripo diviso nell'integrale semplice in dz dell'integrale doppio in dydx che con le coordinate polari diventa d$\rho, d\theta$
non dovrebbe essere pure corretta?
Ti posso rispondere che è semplicemente la regola.. 
Poi c'è sicuramente una dimostrazione. Comunque guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_multiplo nella parte:formule di riduzione
Apparte questo, se ci pensi, è anche più logico operare come in A. Così prima svolgi l' integrale in dz, e poi giustamente integri cioè che ti rimane da questo integrale, nelle altre 2 variabili che hanno estremi di integrazione costanti.
Altrimenti se integrassi come in B, avresti prima $2\pi$ dato dagli integrali in $d\rhod\theta$ e poi andresti ad integrare in dz. Ma dopo l' integrazione in dz ti rimarrebbe una funzione in $\rho$ e $\theta$, e non sapresti che valori "metterci dentro".
Poi c'è sicuramente una dimostrazione. Comunque guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_multiplo nella parte:formule di riduzione
Apparte questo, se ci pensi, è anche più logico operare come in A. Così prima svolgi l' integrale in dz, e poi giustamente integri cioè che ti rimane da questo integrale, nelle altre 2 variabili che hanno estremi di integrazione costanti.
Altrimenti se integrassi come in B, avresti prima $2\pi$ dato dagli integrali in $d\rhod\theta$ e poi andresti ad integrare in dz. Ma dopo l' integrazione in dz ti rimarrebbe una funzione in $\rho$ e $\theta$, e non sapresti che valori "metterci dentro".
hai ragione..non c'ho proprio pensato..al max potrebbe quindi essere, indicando il tutto come un integrale semplice di un integrale doppio:
$\int_{0}^{1}{int_{0}^{2\pi} d\theta\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2) }dz}d\rho
$\int_{0}^{1}{int_{0}^{2\pi} d\theta\int_{e^(2-(x^2+y^2))}^{(x^2+y^2) }dz}d\rho
si esatto..
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