Integrale triplo..impostazione estremi di integrazione..suggerimenti?.

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà sull'impostazione del dominio di integrazione. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Calcolare $ \int_A |z|dxdydz $
ove $ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| x>0, y
per la $z$ avevo pensato a una del genere, prima di calcolare si devono impostare gli estremi di integrazione..


$ (2z^2+1)^2(3x^2+y^2)<1\to (2z^2+1)^2<(1)/(3x^2+y^2)\to $

$ -\sqrt{(1)/(3x^2+y^2)}<2z^2+1<\sqrt{(1)/(3x^2+y^2)} $

però mi sa.. che mi sto complicando la vita.. Qualche idea su come impostare gli estremi di integrazione?

[Quinzio]

Ti stai complicando la vita nel senso che se non passi in coordinate polari non vai avanti.
Innanzitutto cambi variabile da $\sqrt3 x$ a $x$. La chiamiamo sempre $x$, se non facciamo confusione.
Abbiamo allora

$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| x>0, y<(x)/(\sqrt3), (2z^2+1)^2<(1)/(x^2+y^2)}$

Poi passando in coordinate polari cilindriche...

$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| 0<\rho<1,\ -5/6 \pi<\theta<\pi/6 ,\ |2z^2+1|\<(1)/\rho}$

Poi si prosegue, anche se le difficolta non mi sembrano finite qui....

[21zuclo]

"Quinzio":
Innanzitutto cambi variabile da $\sqrt3 x$ a $x$.

Non ho capito bene.. cioè tu $3x^2$ ..scusa non ho capito bene la sostituzione..

Oppure hai fatto $3x^2=x\to x^2=(x)/(\sqrt(3))$ e la variabile come hai detto tu..la chiamiamo sempre $x$ per evitare confuzione

poi

"Quinzio":
$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| x>0, y<(x)/(\sqrt3), (2z^2+1)^2<(1)/(x^2+y^2)}$

Poi passando in coordinate polari cilindriche...

$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| 0<\rho<1,\ -5/6 \pi<\theta<\pi/6 ,\ |2z^2+1|\<(1)/\rho}$

ok per le coordinate cilindriche..

ora in effetti hai ragione a dire

"Quinzio":
Poi si prosegue, anche se le difficolta non mi sembrano finite qui....

perchè c'è questo termine $ |2z^2+1|<1/\rho $

che secondome.. si può togliere il modulo.. è sempre positivo l'argomento.. giusto?..

così mi ricavo la $z$

ah NON dimentichiamoci lo jacobiano ovviamente che mi servirà dopo..cioè $det Jac =\rho$

quindi ora è finito e mi resta che impostare l'integrale e poi calcolare come al solito giusto?..

[Quinzio]

"21zuclo":[quote="Quinzio"]
Innanzitutto cambi variabile da $\sqrt3 x$ a $x$.

Non ho capito bene.. cioè tu $3x^2$ ..scusa non ho capito bene la sostituzione..
[/quote]
Dovunque c'è scritto $x$ lo sostituisco con $x/\sqrt3$.

Oppure hai fatto $3x^2=x\to x^2=(x)/(\sqrt(3))$ e la variabile come hai detto tu..la chiamiamo sempre $x$ per evitare confuzione

poi

"Quinzio":
$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| x>0, y<(x)/(\sqrt3), (2z^2+1)^2<(1)/(x^2+y^2)}$

Poi passando in coordinate polari cilindriche...

$ A=\{((x),(y),(z))\in RR^3| 0<\rho<1,\ -5/6 \pi<\theta<\pi/6 ,\ |2z^2+1|\<(1)/\rho}$

ok per le coordinate cilindriche..

ora in effetti hai ragione a dire
[quote="Quinzio"]
Poi si prosegue, anche se le difficolta non mi sembrano finite qui....

perchè c'è questo termine $ |2z^2+1|<1/\rho $

che secondome.. si può togliere il modulo.. è sempre positivo l'argomento.. giusto?..

[/quote]
Giusto.

così mi ricavo la $z$

ah NON dimentichiamoci lo jacobiano ovviamente che mi servirà dopo..cioè $det Jac =\rho$

Giusto.
Anche il cambio di variabile $x$ ha un suo jacobiano... !

quindi ora è finito e mi resta che impostare l'integrale e poi calcolare come al solito giusto?..

Giusto.

[Camillo]

Mi viene un dubbio sui limiti per la variabile $theta $ ; dovendo essere $x > 0 $ non sarà $ -pi/2

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[21zuclo]

"Quinzio":
Anche il cambio di variabile $x$ ha un suo jacobiano... !

Correggimi se sbaglio.. visto che $x=(x)/(\sqrt(3))\to dx= (1)/(sqrt(3))dx$

per cui il termine da mettere all'interno dell'integrale è $(1)/(\sqrt(3))$ giusto?..

poi

"Camillo":Mi viene un dubbio sui limiti per la variabile $ theta $ ; dovendo essere $ x > 0 $ non sarà $ -pi/2 ? .

Ora che ci penso graficamente.. boh.. dubbio sulll'angolo..

[Camillo]

Chi vuole dare una risposta definitiva ai dubbi ancora pendenti ?
Grazie

[21zuclo]

Un ulteriore dubbio..

perchè utente Quinzio all'inizio scrivi che $\rho \in (0,1)$

da dove l'hai ricavato?

[Quinzio]

"21zuclo":Un ulteriore dubbio..

perchè utente Quinzio all'inizio scrivi che $\rho \in (0,1)$

da dove l'hai ricavato?

Utente Quinzio a rapporto

L'angolo è sbagliato e inizia da $-\pi/2$.

$\rho \in (0,1)$ perchè il minimo di $2z^2+1$ è $1$. Quindi $1/\rho > 1$ da cui $0<=\rho<=1$ (è comunque sempre positivo).

Spero che sia tutto giusto.

[Camillo]

Bell'esercizio

[21zuclo]

"Quinzio":[quote="21zuclo"]Un ulteriore dubbio..

perchè utente Quinzio all'inizio scrivi che $\rho \in (0,1)$

da dove l'hai ricavato?

Utente Quinzio a rapporto

L'angolo è sbagliato e inizia da $-\pi/2$.

$\rho \in (0,1)$ perchè il minimo di $2z^2+1$ è $1$. Quindi $1/\rho > 1$ da cui $0<=\rho<=1$ (è comunque sempre positivo).

Spero che sia tutto giusto.[/quote]

solo un'ultima cosa Quinzio..

prima quando ho detto dello jacobiano $det Jac= \rho$ perchè passando in coordinate polari e facendo il det mi esce $\rho$

poi tu mi hai detto che anche la sostituzione che hai fatto ha un suo jacobiano..

è questo?..tu hai fatto $x=(x)/(\sqrt(3))\to dx=(1)/(sqrt(3))dx$ .. corretto?