Integrale triplo..difficoltà con gli estremi di integrazione..
Ciao a tutti, domani ho l'esame di Analisi 2, stavo facendo degli esercizi vari, ma su quest'integrale triplo, mi blocco. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Calcolare $ \int_ A ln(x^2+y^2+z^2)dxdydz $
ove $ A=\{(x,y,z)\in RR^3| x\geq0,y\geq0, \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 1\} $
allora apparte il calcolo dell'integrale..vorrei prima di tutto impostarlo.. e poi il calcolo viene da se
ho pensato prima di tutto alle coordinate cilindriche $ { ( x=\rho cos\theta ),( y=\rho sin \theta ),( z=z ):} $
il bello è che .. $ \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 1\to \rho\leq z\leq 1 $
è la prima volta che mi trovo davanti questo.. quindi $ z\in [\rho, 1] $ ? mi pare un po' strano..
Voi come fareste?
Calcolare $ \int_ A ln(x^2+y^2+z^2)dxdydz $
ove $ A=\{(x,y,z)\in RR^3| x\geq0,y\geq0, \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 1\} $
allora apparte il calcolo dell'integrale..vorrei prima di tutto impostarlo.. e poi il calcolo viene da se
ho pensato prima di tutto alle coordinate cilindriche $ { ( x=\rho cos\theta ),( y=\rho sin \theta ),( z=z ):} $
il bello è che .. $ \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 1\to \rho\leq z\leq 1 $
è la prima volta che mi trovo davanti questo.. quindi $ z\in [\rho, 1] $ ? mi pare un po' strano..
Voi come fareste?
Risposte
nessuno sa aiutarmi?
mi è venuta un'idea..ditemi almeno se è buona
imposto così.. sempre in coordinate cilindriche..certo da qui $ sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1\to \rho\leq z\leq 1 $
siccome $ \rho>0 $ allora quella diseguaglianza la posso riscrivere $ 0<\rho\leq z\leq 1 $
e allora è $\rho \in [0, z]$ e poi sempre dalla diseguaglianza $z\in [0,1]$ ah e poi l'angolo è $\theta \in [0,\pi/2]$
quindi l'integrale diventa
$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta \int_(0)^(1)dz\int_(0)^(z) \ln(\rho^2+z^2) \cdot \rho d\rho $
e poi si integra..
Ma almeno l'impostazione è giusta?
mi è venuta un'idea..ditemi almeno se è buona
imposto così.. sempre in coordinate cilindriche..certo da qui $ sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1\to \rho\leq z\leq 1 $
siccome $ \rho>0 $ allora quella diseguaglianza la posso riscrivere $ 0<\rho\leq z\leq 1 $
e allora è $\rho \in [0, z]$ e poi sempre dalla diseguaglianza $z\in [0,1]$ ah e poi l'angolo è $\theta \in [0,\pi/2]$
quindi l'integrale diventa
$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta \int_(0)^(1)dz\int_(0)^(z) \ln(\rho^2+z^2) \cdot \rho d\rho $
e poi si integra..
Ma almeno l'impostazione è giusta?
"21zuclo":
[...]
è la prima volta che mi trovo davanti questo.. quindi $ z\in [\rho, 1] $ ? mi pare un po' strano..
[...]
Perché strano?
boh mi pareva strano
anche perchè se $z\in [\rho, 1]$ poi ok facevo l'angolo $\theta\in [0,\pi/2]$.. mi mancava $\rho$
che non so se era corretto supporre (sempre dalla diseguaglianza) $\rho\in [0,1]$
quindi l'integrale sarebbe diventato $ \int_(0)^(\pi/2)d\theta \int_(0)^(1)d\rho\int_(\rho)^(1)\ln(\rho^2+z^2)\cdot \rhod\z $
e qui mi sarei trovato in difficoltà
$ \int_(\rho)^(1)\ln(\rho^2+z^2)\cdot \rhod\z\to ( ( \rho^2+z^2=t ),( dz=(dt)/(2z) ) ) \to \int (1)/(2z)\ln(t) dt $
te come l'avresti impostato l'integrale?
come l'avevo scritto io ieri? perchè ho provato a giocare con le diseguaglianze
$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta\int_(0)^(1)dz\int_(0)^(z)\ln(\rho^2+z^2)\rho d\rho $ e poi da qui si calcola..
anche perchè se $z\in [\rho, 1]$ poi ok facevo l'angolo $\theta\in [0,\pi/2]$.. mi mancava $\rho$
che non so se era corretto supporre (sempre dalla diseguaglianza) $\rho\in [0,1]$
quindi l'integrale sarebbe diventato $ \int_(0)^(\pi/2)d\theta \int_(0)^(1)d\rho\int_(\rho)^(1)\ln(\rho^2+z^2)\cdot \rhod\z $
e qui mi sarei trovato in difficoltà
$ \int_(\rho)^(1)\ln(\rho^2+z^2)\cdot \rhod\z\to ( ( \rho^2+z^2=t ),( dz=(dt)/(2z) ) ) \to \int (1)/(2z)\ln(t) dt $
te come l'avresti impostato l'integrale?
come l'avevo scritto io ieri? perchè ho provato a giocare con le diseguaglianze
$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta\int_(0)^(1)dz\int_(0)^(z)\ln(\rho^2+z^2)\rho d\rho $ e poi da qui si calcola..
"21zuclo":
[...]
anche perchè se $z\in [\rho, 1]$ poi ok facevo l'angolo $\theta\in [0,\pi/2]$.. mi mancava $\rho$
[...]
Beh ma in coordinate cilindriche \(\rho >0\)
"Delirium":
[quote="21zuclo"][...]
anche perchè se $z\in [\rho, 1]$ poi ok facevo l'angolo $\theta\in [0,\pi/2]$.. mi mancava $\rho$
[...]
Beh ma in coordinate cilindriche \(\rho >0\)
[/quote]si..
... e quindi significa che \(\rho \in ]0, +\infty[\), donde l'intervallo che cercavi.
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