Integrale triplo - Volume dell'intersezione tra Cono e Cilindro
Ciao a tutti, sto letteralmente impazzendo con il seguente esercizio: devo trovare il volume dell'intersezione tra il cono ed il cilindro aventi rispettivamente equazione
\(\displaystyle C: z=2-\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle Cil: (x-1)^2+y^2=1 \)
con \(\displaystyle 0 \leq z \leq 2 \)
Ho provato a ragionare così:
posto \(\displaystyle D:= C \cap Cil \) si ha che
\(\displaystyle Vol_{D} = \int \int \int_{D} 1 \, dx dy dz = \int \int_{Base_{D}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg) \, dx dy = \ast \)
da qui ho provato a passare in coordinate polari "traslate" ponendo \(\displaystyle x=\rho cos(\theta) +1 \) ed \(\displaystyle y=\rho sen(\theta) \) per cui l'integrale diviene
\(\displaystyle \ast = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \bigg( 2-\sqrt{\rho^2+2\rho cos(\theta)+1}\bigg)\, d\rho \)
(penso che l'impostazione sia formalmente corretta, in quanto con un noto software di calcolo ho appurato che l'integrale di cui sopra dà \(\displaystyle 2\pi - \frac{32}{9} \), stesso risultato messo come suggerimento dal professore).
Per calcolarlo a mano, però, ho iniziato ad avere problemi.
Spezzandolo per linearità, si ottengono i due integrali
\(\displaystyle \mathcal{I} \rightsquigarrow \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 2\rho \, d\rho \)
\(\displaystyle \mathcal{II} \rightsquigarrow \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 -\rho \sqrt{\rho^2+2\rho cos(\theta)+1}\, d\rho \)
ed ovviamente il \(\displaystyle \mathcal{II} \) è quello che mi ha destabilizzato.
Qualcuno ha idea di come si possa calcolare agevolmente?
Altra strada che ho provato a percorrere è quella di parametrizzare \(\displaystyle Base_{D} \) come dominio verticalmente semplice ed in tal caso l'integrale (che dovrebbe sempre essere corretto per i calcoli fatti col software) diviene
\(\displaystyle \ast = \int_0^{2} dx \int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg)\, dy \)
speravo che in sinergia con l'uso di coordinate polari "classiche" potesse semplificare i calcoli, ma niente...
Immagino ci sia una strada alternativa che mi sta sfuggendo, qualcuno riesce a trovarla?
Grazie mille anticipatamente per l'aiuto!
\(\displaystyle C: z=2-\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle Cil: (x-1)^2+y^2=1 \)
con \(\displaystyle 0 \leq z \leq 2 \)
Ho provato a ragionare così:
posto \(\displaystyle D:= C \cap Cil \) si ha che
\(\displaystyle Vol_{D} = \int \int \int_{D} 1 \, dx dy dz = \int \int_{Base_{D}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg) \, dx dy = \ast \)
da qui ho provato a passare in coordinate polari "traslate" ponendo \(\displaystyle x=\rho cos(\theta) +1 \) ed \(\displaystyle y=\rho sen(\theta) \) per cui l'integrale diviene
\(\displaystyle \ast = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \bigg( 2-\sqrt{\rho^2+2\rho cos(\theta)+1}\bigg)\, d\rho \)
(penso che l'impostazione sia formalmente corretta, in quanto con un noto software di calcolo ho appurato che l'integrale di cui sopra dà \(\displaystyle 2\pi - \frac{32}{9} \), stesso risultato messo come suggerimento dal professore).
Per calcolarlo a mano, però, ho iniziato ad avere problemi.
Spezzandolo per linearità, si ottengono i due integrali
\(\displaystyle \mathcal{I} \rightsquigarrow \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 2\rho \, d\rho \)
\(\displaystyle \mathcal{II} \rightsquigarrow \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 -\rho \sqrt{\rho^2+2\rho cos(\theta)+1}\, d\rho \)
ed ovviamente il \(\displaystyle \mathcal{II} \) è quello che mi ha destabilizzato.
Qualcuno ha idea di come si possa calcolare agevolmente?
Altra strada che ho provato a percorrere è quella di parametrizzare \(\displaystyle Base_{D} \) come dominio verticalmente semplice ed in tal caso l'integrale (che dovrebbe sempre essere corretto per i calcoli fatti col software) diviene
\(\displaystyle \ast = \int_0^{2} dx \int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg)\, dy \)
speravo che in sinergia con l'uso di coordinate polari "classiche" potesse semplificare i calcoli, ma niente...
Immagino ci sia una strada alternativa che mi sta sfuggendo, qualcuno riesce a trovarla?
Grazie mille anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
.
Ciao!
Grazie mille per la risposta! Tra l'altro noto con piacere che utilizziamo il medesimo "noto software"
Sono andato avanti grazie al tuo suggerimento, ma forse mi sto perdendo qualcosa nel risolvere il sistema di disequazioni. Il procedimento che ho seguito è questo:
\(\displaystyle (\rho cos(\theta) -1)^2+(\rho sen(\theta))^2 \leq 1 \)
\(\displaystyle \rho^2 cos^2(\theta) +\not{1} - 2 \rho cos(\theta) +\rho^2 sen^2(\theta) \leq \not{1} \)
\(\displaystyle \rho^2 \underbrace{(cos^2(\theta)+sen^2(\theta))}_\text{1} - 2 \rho cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho^2 - 2 \rho cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \not{\rho} (\rho - 2cos(\theta)) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho - 2cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho \leq 2cos(\theta) \)
e dunque gli l'integrale diventa
\(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2cos(\theta)}d\rho \, (2-\rho)\rho \)
il quale, purtroppo, risolvendolo non torna il risultato atteso...
Dove sto sbagliando???
Grazie mille per la risposta! Tra l'altro noto con piacere che utilizziamo il medesimo "noto software"
Sono andato avanti grazie al tuo suggerimento, ma forse mi sto perdendo qualcosa nel risolvere il sistema di disequazioni. Il procedimento che ho seguito è questo:
\(\displaystyle (\rho cos(\theta) -1)^2+(\rho sen(\theta))^2 \leq 1 \)
\(\displaystyle \rho^2 cos^2(\theta) +\not{1} - 2 \rho cos(\theta) +\rho^2 sen^2(\theta) \leq \not{1} \)
\(\displaystyle \rho^2 \underbrace{(cos^2(\theta)+sen^2(\theta))}_\text{1} - 2 \rho cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho^2 - 2 \rho cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \not{\rho} (\rho - 2cos(\theta)) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho - 2cos(\theta) \leq 0 \)
\(\displaystyle \rho \leq 2cos(\theta) \)
e dunque gli l'integrale diventa
\(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2cos(\theta)}d\rho \, (2-\rho)\rho \)
il quale, purtroppo, risolvendolo non torna il risultato atteso...
Dove sto sbagliando???
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Giusto!!! Che testa che sono... 
Dovendo necessariamente avere la positività del coseno, ci restringiamo al semipiano destro quindi da \(\displaystyle -\pi/2 \) a \(\displaystyle \pi/2 \) e l'integrale ora fila liscio.
Di nuovo grazie molte!
Dovendo necessariamente avere la positività del coseno, ci restringiamo al semipiano destro quindi da \(\displaystyle -\pi/2 \) a \(\displaystyle \pi/2 \) e l'integrale ora fila liscio.
Di nuovo grazie molte!
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"sellacollesella":
Ottimo!
Poi, volendo, basta scrivere:
Reduce@Simplify@{(ρ Cos[θ] - 1)^2 + (ρ Sin[θ])^2 < 1, ρ > 0, -π < θ < π}
da cui:
-π/2 < θ < π/2 && 0 < ρ < 2 Cos[θ]
a conferma di quanto ottenuto a mano.
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