Integrale triplo su un cono

[Riccardo_91]

Salve a tutti, ho un problema con un integrale triplo all'apparenza semplice.
La traccia dice:
Si calcoli l'integrale triplo di $ \int int int_{C} sqrt(x^2 + z^2) dxdydz $. Dove C è il cono, di base il cerchio del piano xz centrato in O di raggio 2, e avente come vertice il pt (0,1,0).

Come prima cosa ho trovato l'equazione del cono, infatti avendo la direttrice, cioè la circonferenza del piano xz di equazioni parametriche $ (x(t) = 2*cos(t),z(t)= 2*sin(t)) $ e vertice, ho usato la formula:

$ (x - xo ) / (x(t) - xo) = (y - yo) / (y(t) - yo) = (z - zo) / (z(t) - zo) $

Trovando come risultato:

$ y = 1 - (sqrt(x^2 +z^2))/2 $

Allora ho applicato subito il passaggio a coordinate cilindriche, considerando $ C $ normale rispetto al piano xz :

$ {x = 2cosTheta,z=2sinTheta ,y=y $

Trovando le limitazioni di C: $ 0 < Theta < 2pi , 0
Avrei dunque : $ int_{0}^{2pi} dTheta int_{0}^{1} dy int_{0}^{2*(-y-1)} rho ^2 drho $

A conti fatti trovo come risultato : $ -20pi $ , ma dovrebbe venire $ (8)/(5)pi $

Dove Sbaglio ?

[chimi1]

Dando un'occhiata veloce, a me pare tutto giusto tranne un errore di segno qui

"Riccardo_9":

Trovando le limitazioni di C: $ 0 < Theta < 2pi , 0

perché in realtà è $0<\rho<2(1-y)$.

Però, così facendo, comunque non si ottiene il risultato che tu indichi ( in tal caso mi viene fuori $4/3\pi$, ma può darsi sia la fretta, controlla meglio anche tu!)

[Riccardo_91]

Si è corretta la tua osservazione sull'errore di segno, ma nonostante ciò, controllando viene comunque $ 4/3pi $... Non riesco proprio a giustificare da dove esca $ 8/5 pi $

[Riccardo_91]

Ok, grazie mille, evidentemente data la correttezza della soluzione da voi indicata, sarà un errore di stampa del libro.