Integrale triplo su intersezione insiemi

[Ragnarok1]

Ciao a tutti. Ho delle difficoltà con quest'integrale. In particolare nel trovare i giusti estremi d'integrazione.

$ \intintint_{D} sqrt(z^2-y^2)\ dx\,dy\,dz $

ove D è il solido che si ottiene intersecando gli insiemi

$E_1 = \{ z>=0 \} $
$E_2 = \{ x^2 + y^2 <= z^2 \}$
$E_3 = \{ y^2 + z^2 <= 1 \}$


In pratica, E dovrebbe essere l'intersezione tra il semicerchio superiore in yz di raggio 1 centro origine, e il cono canonico.

Ho agito in diversi modi, che mi riconducono quasi tutti agli stessi o simili risultati, tra cui:

$ sqrt (x^2 + y^2) <= z <= sqrt (1 - y^2) $

E questi dovrebbero/potrebbero essere gli estremi d'integrazione per dz,

da cui $ x^2 + y^2 <= 1 - y^2 $

per poi ricavarci quelli di dx e dy che sono rispettivamente:

$ - sqrt (1 - 2y^2) <= x <= sqrt (1 - 2y^2) $
$ - sqrt (2) / 2 <= y <= sqrt (2) / 2 $

Quindi abbiamo che

$ \intintint_{D} sqrt(z^2-y^2)\ dx\,dy\,dz = \int_{- sqrt (2) / 2}^{sqrt (2) / 2}\ dy \int_{- sqrt (1 - 2y^2)}^{sqrt (1 - 2y^2)}\ dx \int_{sqrt (x^2 + y^2) }^{sqrt (1 - y^2)} sqrt(z^2-y^2)\ dz $

Ma vengono fuori dei calcoli un po' troppo complessi, il che mi fa dedurre di aver sbagliato l'impostazione.
Chi mi può aiutare?

[Megan00b]

Nella scrittura di $E_3$ non compare la x. Questo significa che quell'insieme è un cilindro indefinito con l'asse coincidente con l'asse x.
Allora il tuo E dovrebbe essere la parte con $z>=0$ dell'intersezione di questo cilindro con il cono.
Mi sembra così almeno.

[Ragnarok1]

Grazie per la risposta Megan00b.
Infatti il mio errore è stato considerare l'insieme $E_3$ come una semplice circonferenza!

Passando a coordinate cilindriche

$ x = x $
$ y = \rho sen \theta $
$ z = \rho cos \theta $

con determinante jacobiano $\rho$

Abbiamo, nell'ordine, che

$ \rho cos \theta >= 0 $
$ x^2 <= \rho^2 (cos^2 \theta - sen^2 \theta) = \rho^2 cos(2\theta) $
$ \rho^2 <= 1 $

Da cui ci ricaviamo

$ 0<= \rho <= 1 $
$ -\rhosqrtcos(2\theta) <= x <= \rhosqrtcos(2\theta)$
ma dev'essere $ cos(2\theta) >=0 $ pertanto, essendo il coseno positivo nel primo e quarto quadrante si ha $-\pi/4<=\theta<=\pi/4$

E finalmente:

$ \int_{0}^{1} \ d\rho \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \ d\theta \int_{-\rhosqrtcos2\theta}^{\rhosqrtcos2\theta} \rho^2 sqrtcos(2\theta) \ dx $ =

=$ 2 \int_{0}^{1} \rho^3 \ d\rho \int_{-\pi/4}^{\pi/4} cos(2\theta) \ d\theta $

=$1/2 \[ (sen(2\theta))/2 \]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 1/2 $

[ciampax]

Secondo quale condizione esposta nel primo post, dovrebbe essere $\rho\cos\theta\ge 0$?

[Ragnarok1]

$E_1 = \{ z>=0\}$

imponendo $z = \rhocos\theta$

[ciampax]

Ah scusa, non avevo visto come avevi scelto le coordinate cilindriche.