Integrale triplo su insieme
Ciao ragazzi.. Ho questo esercizio che mi è capitato all'esame.. 
Calcolare il seguente integrale triplo
$ int_(E) z (x^2+y^2) dx dy dz $
dove $ E = {(x,y,z)in R^3 : 0<= 1-z^2<=x^2+y^2<=1,z>=0} $ .
Allora, io parto sempre disegnando l'insieme $ E $ per poi capire quale strategia usare per la risoluzione.
L'insieme $E$ è sicuramente sul semiasse positivo di $z$ (poiché $z>=0$), poi dalla definizione so che:
$ 0 <=1-z^2 hArr z^2<=1 hArr -1<=z<=+1 $
Unendo le due relazioni sopra di ottiene che
$ 0 <=z<=1 $ .
La definizione dell'insieme dice anche che la circonferenza sul piano xy data da $z = x^2+y^2$ è
$0<=x^2+y^2<=1$.
Concludendo l'insieme $E$ dovrebbe essere un cono con base circolare capovolto di base uguale alla circonferenza e con la punta precisamente nell'origine $O$. Giusto??
Io ho provato a risolvere dunque utilizzando le coordinate cilindriche.
Sia dunque:
$ rho in [0,1] $
$ vartheta in [0,2pi] $
$ z in [0,1] $
L'integrale diventa:
$ int_(0)^(1) drho int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(1) dz * (zrho^2)*rho = $
$ = 2pi * int_(0)^(1) rho^3 drho int_(0)^(1) z dz = $
$= 2pi * 1/4 * 1/2 = pi/4 $
Secondo me è cosi, anche se ho dubbi.
Qualcun altro lo svolgerebbe in maniera diversa??
Calcolare il seguente integrale triplo
$ int_(E) z (x^2+y^2) dx dy dz $
dove $ E = {(x,y,z)in R^3 : 0<= 1-z^2<=x^2+y^2<=1,z>=0} $ .
Allora, io parto sempre disegnando l'insieme $ E $ per poi capire quale strategia usare per la risoluzione.
L'insieme $E$ è sicuramente sul semiasse positivo di $z$ (poiché $z>=0$), poi dalla definizione so che:
$ 0 <=1-z^2 hArr z^2<=1 hArr -1<=z<=+1 $
Unendo le due relazioni sopra di ottiene che
$ 0 <=z<=1 $ .
La definizione dell'insieme dice anche che la circonferenza sul piano xy data da $z = x^2+y^2$ è
$0<=x^2+y^2<=1$.
Concludendo l'insieme $E$ dovrebbe essere un cono con base circolare capovolto di base uguale alla circonferenza e con la punta precisamente nell'origine $O$. Giusto??
Io ho provato a risolvere dunque utilizzando le coordinate cilindriche.
Sia dunque:
$ rho in [0,1] $
$ vartheta in [0,2pi] $
$ z in [0,1] $
L'integrale diventa:
$ int_(0)^(1) drho int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(1) dz * (zrho^2)*rho = $
$ = 2pi * int_(0)^(1) rho^3 drho int_(0)^(1) z dz = $
$= 2pi * 1/4 * 1/2 = pi/4 $
Secondo me è cosi, anche se ho dubbi.
Qualcun altro lo svolgerebbe in maniera diversa??
Risposte
Ok ho risolto non è così.. Se qualcuno è interessato alla soluzione me lo chieda, senza che perdo tempo a scriverla =D
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