Integrale triplo su dominio tridimensionale valore assoluto
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Non riesco a capire come devo gestire il valore assoluto.
Vi ringrazio anticipatamente per ogni risposta.
Calcolare l'integrale triplo:
\[
\int\!\!\int\!\!\int_V y\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z
\]
esteso al dominio $V$ individuato dalle disuguaglianze:
\[
4\leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 16,\quad y\geq |x|,\quad z\leq 0\; .
\]
Non riesco a capire come devo gestire il valore assoluto.
Vi ringrazio anticipatamente per ogni risposta.
Risposte
Tentativi tuoi?
Fai un disegno, innanzitutto... E renditi conto che è un esercizio molto standard in cui si usano le coordinate polari.
Fai un disegno, innanzitutto... E renditi conto che è un esercizio molto standard in cui si usano le coordinate polari.
"gugo82":
Tentativi tuoi?
Fai un disegno, innanzitutto... E renditi conto che è un esercizio molto standard in cui si usano le coordinate polari.
Io avevo pensato alla risoluzione attraverso le coordinate sferiche, sbaglio?
Comunque la mia difficoltà è nel gestire in vincolo x\leq|y|
Edit:
il vincolo era $x\geq|y|$
Scusate per l'errore.
il vincolo era $x\geq|y|$
Scusate per l'errore.
Sì, va bene! Coordinate sferiche, polari, è la stessa roba... 
Per quanto riguarda il vincolo, il suggerimento di disegnare il tuo insieme è sempre valido.
Facendolo, ti renderai conto del fatto che $x >=|y|$ è, essenzialmente, un vincolo su $theta$.
Per quanto riguarda il vincolo, il suggerimento di disegnare il tuo insieme è sempre valido.
Facendolo, ti renderai conto del fatto che $x >=|y|$ è, essenzialmente, un vincolo su $theta$.
"gugo82":
Sì, va bene! Coordinate sferiche, polari, è la stessa roba...
Per quanto riguarda il vincolo, il suggerimento di disegnare il tuo insieme è sempre valido.
Facendolo, ti renderai conto del fatto che $x >=|y|$ è, essenzialmente, un vincolo su $theta$.
Ok, grazie mille!
Avevo pensato ad una risoluzione simile:
"Spezzo" l'integrale in due integrali:
1) $\int\int\int y dxdydz$ $V: {4<=x^2+y^2+z^2<=16, y>=x, z<=0, x>=0}$
2) $\int\int\int y dxdydz$ $V: {4<=x^2+y^2+z^2<=16, y>=(-x), z<=0, x<0}$
li risolvo attraverso il cambiamento di variabili e successivamente li sommo insieme per trovare $\int\int\int y dxdydz$ $V: {4<=x^2+y^2+z^2<=16, y>=|x|, z<=0, x<0}$
Sto sbagliando qualcosa?
No, ma puoi fare più velocemente se fai un disegno.
Graficamente non riesci proprio a capire come vanno le cose? L’insieme $V$ ha una forma molto semplice...
P.S.: Ma la seconda disuguaglianza qual è? Una volta è $y>=|x|$, un’altra $x>=|y|$, poi di nuovo $y>=|x|$... Vuoi deciderti?
Graficamente non riesci proprio a capire come vanno le cose? L’insieme $V$ ha una forma molto semplice...
P.S.: Ma la seconda disuguaglianza qual è? Una volta è $y>=|x|$, un’altra $x>=|y|$, poi di nuovo $y>=|x|$... Vuoi deciderti?
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