Integrale Triplo semplice

[stespiga97]

Ciao a tutti, sto avendo un po di difficoltà con questo integrale triplo.
Si tratta del volume di un solido che ha questo dominio
D: $ { x^2 + y^2 +z^2 <= 4 , x^2+y^"<=1} $

Intuitivamente mi verrebbe da esplicitare la Z dalla prima condizione in modo da ottenere $ -sqrt(4-x^2-y^2)<=z<=sqrt(4-x^2-y^2) $

A questo punto mi è venuta l'idea di sostituire la seconda condizione dentro la prima così da ottenere che $ -sqrt(3)<=z<=sqrt(3) $ . Il problema è che questo ragionamento non mi porta da nessuna parte... PS: il professore consiglia di utilizzare la conversione in coordinate cilindriche
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[sandroroma]

Stante la sImmetria del solido ci si può limitare al caso $z>=0 $ e poi raddoppiare. Usando coordinate cilindriche
il dominio di cui occorre calcolare il volume V è caratterizzato dalle limitazioni seguenti:
$0<=rho<=1,0<=theta<=2\pi,0<=z<=\sqrt{4-rho^2} $
Pertanto il volume V richiesto è dato da:
$V=2\int_0^1 rhodrho\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^{\sqrt{4-rho^2}}dz=4\pi\int_0^1\rho\sqrt{4-\rho^2}d\rho=4/3\pi(8-3\sqrt3)$
Può essere interessante osservare che il calcolo si ottiene anche elementarmente notando che il solido in questione
è il doppio di un cilindro di raggio $r=1$ ed altezza $H=\sqrt3$, sormontato da un segmento sferico di altezza
$h=2-\sqrt3$ appartenente ad una sfera di raggio $R=2$
Pertanto :
$V=2[\pir^2H+1/3\pih^2(3R-h)]=2[\pi\sqrt3+1/3\pi(2-\sqrt3)^2(6-2+\sqrt3)]=4/3\pi(8-3\sqrt3)$