Integrale triplo, problemi sul dominio
Salve a tutti devo risolvere il seguente integrale triplo.
$int int int_T x^3/(x^2 +y^2) dxdydz$
dove $T ={(x,y,z) in R^3: 1<=x^2 + y^2 + z^2 <=4, x^2 + y^2 <=z^2, x>=0, y>=0, z>=0}$
Ho abbozzato una soluzione.
Per calcolarmi il dominio mi ritrovo una sfera di raggio $2$ con dentro (credo) una sfera di raggio $1$, inoltre tutto si svolge nel $1°$ quadrante, infine sostituendo l'equazione del cono dentro quello della sfera dovrei ottenere gli estremi di integrazione di $z$.
Considero le coordinate cilindriche e dovrei avere: $x = \rhocos\theta, y = \rhosen\theta, z = z$ con $1<=\rho<=2$, $0<=\theta<=\pi/2$ e $1/sqrt(2)<=z<=sqrt(2)$.
diciamo che ci ho provato
Voi che dite?
Grazie
$int int int_T x^3/(x^2 +y^2) dxdydz$
dove $T ={(x,y,z) in R^3: 1<=x^2 + y^2 + z^2 <=4, x^2 + y^2 <=z^2, x>=0, y>=0, z>=0}$
Ho abbozzato una soluzione.
Per calcolarmi il dominio mi ritrovo una sfera di raggio $2$ con dentro (credo) una sfera di raggio $1$, inoltre tutto si svolge nel $1°$ quadrante, infine sostituendo l'equazione del cono dentro quello della sfera dovrei ottenere gli estremi di integrazione di $z$.
Considero le coordinate cilindriche e dovrei avere: $x = \rhocos\theta, y = \rhosen\theta, z = z$ con $1<=\rho<=2$, $0<=\theta<=\pi/2$ e $1/sqrt(2)<=z<=sqrt(2)$.
diciamo che ci ho provato
Voi che dite?
Grazie
Risposte
Se vai in coord. sferiche ti semplifichi la vita.
Prova a pensare a come un cono è descritto in coordinate sferiche.
Prova a pensare a come un cono è descritto in coordinate sferiche.
"Quinzio":
Se vai in coord. sferiche ti semplifichi la vita.
Prova a pensare a come un cono è descritto in coordinate sferiche.
ok grazie del consiglio la variabile $\phi$ dovrebbe variare tra $0$ e $\pi/2$.
quindi dovremmo avere $1<=\rho<=2$, $0<=\theta<=\pi/2$ e $0<=\phi<=\pi/2$
mm.... uno dei due angoli non va bene.
"Quinzio":
mm.... uno dei due angoli non va bene.
se guardo le limitazioni $x>=0$, $y>=0$ e $z>=0$ noto che esse sono verificate sono nel 1 quadrante tridimensionale dove tutto è positivo, se poi effettuo le sezioni con i pianti tangenti noto che $0<=\theta<=\pi/2$ e che $0<=\phi<=\pi/2$ e quindi mi viene quel risultato.
Immagino che tu ti riferissi a $\phi$ ma anche l'angolo $\phi$ è definito tra $0<=\phi<=\pi/2$ infatti se fosse definito tra $0<=\phi<=\pi$ allora il dominio considererebbe pure eventuali $x<=0$ ovvero in alternativa $y<=0$. Stesso discorso si potrebbe fare per $\theta$.
1 quadrante tridimensionale--> dicesi "ottante".
Per gli angoli:
ok le tue considerazioni, (a parte che con uno dei due angoli $> \pi/2$) si va in zona $z<0$.
Detto questo dobbiamo rimanere all'interno del cono, e il cono ha una apertura di $\pi/4$ dalla verticale, l'asse z.
(IN realtà l'apertura del cono si misura da "estremo a estremo" cioe sarebbe $\pi/2$) ma ho messo $\pi/4$ per non confondere le idee.
"Quinzio":1 quadrante tridimensionale--> dicesi "ottante".
Per gli angoli:
ok le tue considerazioni, (a parte che con uno dei due angoli $> \pi/2$) si va in zona $z<0$.
Detto questo dobbiamo rimanere all'interno del cono, e il cono ha una apertura di $\pi/4$ dalla verticale, l'asse z.
(IN realtà l'apertura del cono si misura da "estremo a estremo" cioe sarebbe $\pi/2$) ma ho messo $\pi/4$ per non confondere le idee.
cmq sempre grandi consigli, effettivamente la trasformazione in coordinate sferiche ti semplifica la vita.
I domini sono la mia bestia nera, dovrei fare molta pratica ma ho troppi argomenti contemporaneamente.
Curiosità ma il dominio da me calcolato in coordinate cilindriche andava bene? Cosa pensi a riguardo?
"emanuele78":
[quote="Quinzio"]1 quadrante tridimensionale--> dicesi "ottante".
Per gli angoli:
ok le tue considerazioni, (a parte che con uno dei due angoli $> \pi/2$) si va in zona $z<0$.
Detto questo dobbiamo rimanere all'interno del cono, e il cono ha una apertura di $\pi/4$ dalla verticale, l'asse z.
(IN realtà l'apertura del cono si misura da "estremo a estremo" cioe sarebbe $\pi/2$) ma ho messo $\pi/4$ per non confondere le idee.
cmq sempre grandi consigli, effettivamente la trasformazione in coordinate sferiche ti semplifica la vita.
I domini sono la mia bestia nera, dovrei fare molta pratica ma ho troppi argomenti contemporaneamente.
Curiosità ma il dominio da me calcolato in coordinate cilindriche andava bene? Cosa pensi a riguardo?[/quote]
mmm.... si e no.
Va bene per una parte dell'integrale..... perchè in c. cilindriche devi fare la somma di due integrali, non puoi mettere tutto dentro un integrale solo.
Se vuoi scrivere l'integrale completo......
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