Integrale triplo, problema concettuale
salve a tutti, ho questo integrale da calcolare $int int int (x^2+y^2+z^2-1) dx dy dz$ sul dominio E che si ottiene dall'intersezione tra il paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ e la superficie sferica $x^2+y^2+z^2=2$
In sostanza ottengo un insieme di (x,y,z) contenuti tra paraboloide (sotto) e sfera (sopra).
Il metodo più comodo per arrivare alla fine del problema è probabilmente riconoscere il dominio come normale rispetto al piano z=0 ed esprimere l'integrazione come $intint_D ( int_{x^2+y^2}^{sqrt(2-x^2-y^2)}(x^2+y^2+z^2-1)dz )dxdy$
con $D={(x,y)|x^2+y^2<=1}$ che è la proiezione del dominio sul piano z=0, usando poi le coordinate polari si arriva alla soluzione senza problemi.
Ho però voluto provare a risolverlo in un altro modo: considerando il dominio come normale rispetto all'asse z e scomponendolo in due sottoinsiemi. Uno che considera solo i punti "contenuti" nel parabolide fino all'intersezione con la sfera, l'altro con i punti della sfera. in sostanza ho tagliato il dominio all'altezza dell'intersezione. Stavolta le z sono vincolate tra 0 e $sqrt2$, e dopo aver diviso l'insieme andranno da 0 a 1 e da 1 a$sqrt2$ dato che l'intersezione si ha a z=1. Ho quindi ricavato i due domini normali paralleli a z=0 e quindi ad altezza generica z, come si fa in questi casi e sono entrambi dei cerchi di raggio che varia con z.
Riassumendo il dominio generico E è stato scomposto in $E1={(x,y,z)|0<=z<=1, (x,y)inDe1}$ e $E2={(x,y,z)|1<=z<=sqrt2, (x,y)inDe2}$
con $De1={(x,y)|-sqrt{z-x^2}<=y<=sqrt{z-x^2} ; -sqrtz<=x<=sqrtz}$
e $De2={(x,y)|-sqrt{2-x^2-z^2}<=y<=sqrt{2-x^2-z^2} ; -sqrt{2-z^2}<=x<=sqrt{2-z^2}}$
il problema è che andando a calcolare gli integrali ottengo sempre e comunque 0 perchè lavoro con funzioni dispari. C'è senza dubbio qualche errore, ma non saprei trovarlo. So che è una faticaccia, ma ci tengo davvero a chiarirlo quindi grazie da subito a chi proverà a darmi una mano
EDIT: e dopo mezz'ora per scrivere i post l'ho trovato da me l'errore ... la funzione non è affatto dispari -.-, non so come abbia fatto a sbagliare ... per ora continuo allora. Perdonate il thread allora -.-
In sostanza ottengo un insieme di (x,y,z) contenuti tra paraboloide (sotto) e sfera (sopra).
Il metodo più comodo per arrivare alla fine del problema è probabilmente riconoscere il dominio come normale rispetto al piano z=0 ed esprimere l'integrazione come $intint_D ( int_{x^2+y^2}^{sqrt(2-x^2-y^2)}(x^2+y^2+z^2-1)dz )dxdy$
con $D={(x,y)|x^2+y^2<=1}$ che è la proiezione del dominio sul piano z=0, usando poi le coordinate polari si arriva alla soluzione senza problemi.
Ho però voluto provare a risolverlo in un altro modo: considerando il dominio come normale rispetto all'asse z e scomponendolo in due sottoinsiemi. Uno che considera solo i punti "contenuti" nel parabolide fino all'intersezione con la sfera, l'altro con i punti della sfera. in sostanza ho tagliato il dominio all'altezza dell'intersezione. Stavolta le z sono vincolate tra 0 e $sqrt2$, e dopo aver diviso l'insieme andranno da 0 a 1 e da 1 a$sqrt2$ dato che l'intersezione si ha a z=1. Ho quindi ricavato i due domini normali paralleli a z=0 e quindi ad altezza generica z, come si fa in questi casi e sono entrambi dei cerchi di raggio che varia con z.
Riassumendo il dominio generico E è stato scomposto in $E1={(x,y,z)|0<=z<=1, (x,y)inDe1}$ e $E2={(x,y,z)|1<=z<=sqrt2, (x,y)inDe2}$
con $De1={(x,y)|-sqrt{z-x^2}<=y<=sqrt{z-x^2} ; -sqrtz<=x<=sqrtz}$
e $De2={(x,y)|-sqrt{2-x^2-z^2}<=y<=sqrt{2-x^2-z^2} ; -sqrt{2-z^2}<=x<=sqrt{2-z^2}}$
il problema è che andando a calcolare gli integrali ottengo sempre e comunque 0 perchè lavoro con funzioni dispari. C'è senza dubbio qualche errore, ma non saprei trovarlo. So che è una faticaccia, ma ci tengo davvero a chiarirlo quindi grazie da subito a chi proverà a darmi una mano
EDIT: e dopo mezz'ora per scrivere i post l'ho trovato da me l'errore ... la funzione non è affatto dispari -.-, non so come abbia fatto a sbagliare ... per ora continuo allora. Perdonate il thread allora -.-
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